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多元关系及其应用

摘要：

本文主要通过二元关系的等价关系举例来介绍多元关系的主要内容和基本

特点，多元关系在数据库、数据结构、代数组合运算中的应用以及它将离散数学

其他内容的有机结合，和它在我们日常生活中所起的作用。

关键词：

1.1多元关系的含义

所谓多元关系就是在集合中的多个元素之间的某种相关性，就多元关系种的

特殊情况二元关系来看，例如，甲、乙、丙三人参加比赛，如果任何两人之间

都要赛一场，则需赛三场。假设三场比赛的结果是乙胜甲、甲胜丙、乙胜丙，这

个结果可以记为{乙，甲，甲，丙，乙，丙}，其中x,y表示x胜y.他表

示集合{甲，乙，丙}中的元素之间的一种胜负关系。

1.2多元关系组成部分

多元关系中的二元关系的组成部分主要包括小于等于关系、整除关系、逆、

合成、限制、像、等价关系、偏序关系等

1.2.1小于等于关系

设A是实数集R上的某个子集，则A上的小于等于关系定义为

LA={x,y|x,yεAΛx≤y}

1.2.2整除关系

设B是正整数集Z+的某个子集，则B上的整除关系定义为

DB={x,y|x,yεBΛx|y},即所有能被y整除的X与Y组成的实数对

1.2.3逆、合成、限制、像

F的逆记为F-1，

F-1={x,y|yFx}.

F的合成记为F。G，

F。G={x,y|存在Z(xGzΛzFy)}.

F在A上的限制记作F↑A，

F↑A={x,y|xFyΛxεA}.

A在F下的像记作F[A]，

F[A]=ran(F↑A).

1.2.4等价关系

设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的，则称R

为A上的等价关系，对任何x,yεA,如果x,yε等价关系R，则记作x~y.

1.2.5偏序关系

设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、反对称的和传递的，则称

R为A上的偏序关系.

任何集合上A上的恒等关系，集合的幂集P(A)上的包含关系，是数集上

的小于等于关系，正整数集上的整除关系都是偏序关系.

1.3多元关系各组成部分的性质

多元关系中的小于等于关系等组成部分中有的具有自反性、反自反性、对称

性、反对称性等性质，在此不一一列举.

2.1多元关系的应用

2.1.1在数据库中的应用

在数据库系统中，针对不同的使用对象和应用目的，可以将数据模型分为

概念模型和数据模型，数据模型又包括网状模型、层次模型、关系模型等，而概

念模型也称为语义模型，它是面向现实世界，按用户的观点来对数据和信息建模，

常用的语义模型模型有实体联系模型，面向对象模型等，一般实体联系模型会用

E-R图来表示，其中，矩形代表实体，菱形代表实体之间的联系、无向边用于连

接菱形和有关实体，而椭圆则代表实体或联系的属性.

实体之间存在着一对一、一对多、多对多等三种关系，其中，多对多的联系

即离散数学中的多元关系，例如，学生与课程的关系中，一个学生可以选修多门

课程，一门课程也可以被多个学生选修，所以课程与学生之间是多对多的关系,

通过E-R模型和多元关系的分解和应用，我们更轻的了解了生活各类要分

析的实体对象之间存在的多元关系，从而更容易的研究数据库关系模型，使得建

立数据库和管理数据库系统更为方便并不出差错.

此外，在数据库理论中，分组查询是一种重要的数据库操作，它在本质上也

是一种等价类的划分，即将相关数据表中的所有记录作为一个集合，根据记录的

一个或多个属性(字段)的值是否相同来对表中的记录进行分类，字段值相同的归

于同一类，在此基础上可以进行进一步的分组统计等操作

2.1.2等价关系在命题公式和集合中的应用

数理逻辑中，命题公式A和B等值(记为AB)是指由它们构成的等价式AB

为永真式。命题公式的等值关系是建立在由所有命题公式构成的集合上的一种等

价关系，这种等价关系将所有命题公式按其是否等值划分成若干个等价类，属于

同一个等价类中的命题公式彼此等值，因