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运用三角形面积公式证题--第1页

运用三角形面积公式证明某些几何题，有时往往比其他方法思路更

清晰，证法更简捷，有事半功倍之效。现举例说明如下。

一、证线段相等或不等

例1求证：等腰三角形两腰上的高相等。

证明：如图1，△ABC中，

AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，

则

而AB=AC，所以CE=BD

例2△ABC中，ABAC，∠A的平分线交BC于D，求证：BDCD。

证明：如图2，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE=DF。

设BC边上的高为h，

因为，

又因为ABAC，所以

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即

所以BDCD

二、证角的相等或不等

例3E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、AB上的点，使BE=DF，且相交于P。

求证：∠DPC=∠BPC

证明：连结CE、CF，则

因为BE=DF

所以△BCE的边BE上的高与△CDF的边DF上的高相等，即点C到∠BPD的两边的

距离相等，

所以∠DPC=∠BPC

三、证线段的和或差

例4（西安市中考题）如图4，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上一点，BD=DC，

P是BC上任一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F。求证：PE+PF=AB。

证明：连结PD，则

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即

因为BD=DC

所以PE+PF=AB

四、证比例式或等积式

例5过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。求证：

AE：ED=2AF：FB。

证明：设∠ACF=α，∠BCF=β，则

因为BC=2CD

所以

故

五、求线段的长

例6（天津市中考题）如图6，矩形ABCD中，AB=5，AD=20，点M分BC为BM：

MC=1：2，DE⊥AM，E为垂足。求DE的长。

解：连结DM。

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因为BM：MC=1：2

所以

因为

即

所以

即DE=

六、证平方关系

例7如图7，△ABC内接于圆，过A点的切线与BC的延长线交于D。求证：

。

证明：易证△ABD∽△CAD

所以

因为△ABD与△CAD同高

所以

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所以

七、证定值问题

例8从等腰△ABC的底边BC上任意一点P作BC的垂线，交BA、CA或其延长线于