人教B版高中同步学案数学必修第四册精品课件 第十章 复数 10.3 复数的三角形式及其运算.ppt

第十章*10.3复数的三角形式及其运算

课标要求1.理解复数的模和辐角的定义.2.能求复数的模和辐角主值.3.能求出复数的三角形式.4.能进行复数三角形式的乘除运算.

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知识点1复数的三角形式一般地,如果非零复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应点Z(a,b),且r为向量的模,θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角,则r=|z|=,由图可以看出,a=rcosθ,b=rsinθ,从而z=a+bi=(rcosθ)+(rsinθ)I=r(cosθ+isinθ),上式的右边称为非零复数z=a+bi的(对应地,a+bi称为复数的,其中的θ称为z的.?显然,任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个,而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地,在[0,2π)内的辐角称为z的,记作argz.?三角形式代数形式辐角辐角主值

过关自诊BCD

D

知识点2复数的三角形式与代数形式的互化1.复数的三角形式z=r(cosθ+isinθ)化为复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),只要计算出三角函数值(应用a=rcosθ,b=rsinθ)即可.2.非零复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为复数的三角形式一般步骤:(3)写出复数的三角形式.

3.每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角主值,并且由它的模与辐角主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等,即

名师点睛复数三角形式的判断依据和变形步骤(1)依据:三角形式的结构特征“模非负,角相同,余弦前,加号连”.(2)步骤:首先确定复数z的对应点所在象限,其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.可简记为“定点→定名→定角”.

过关自诊[人教A版教材习题]将下列复数表示成三角形式:(1)6;(2)1+i;解(1)6=6(cos0+isin0).

知识点3复数三角形式的乘法及运算律1.复数三角形式的乘法若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=.这就是说,由两个复数z1,z2的三角形式可以便捷地得到z1z2的三角形式:z1的模乘以z2的模等于z1z2的模,z1的辐角与z2的辐角之和是z1z2的辐角.简单地说,两个复数三角形式相乘的法则为:模相乘,辐角相加.r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]

2.复数乘法运算的几何意义

3.复数的三角形式乘法法则的推论(1)有限个复数的三角形式相乘,结论亦成立,即z1z2…zn=r1(cosθ1+isinθ1)×r2(cosθ2+isinθ2)×…×rn(cosθn+isinθn)=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].(2)当z1=z2=…=zn=z,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ时,zn=[r(cosθ+isinθ)]n=(n∈N).这就是复数三角形式的乘方法则,即模乘方,辐角n倍.?(3)在复数三角形式的乘方法则中,当r=1时,则有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(n∈N).这个公式称为棣莫弗公式.rn[cos(nθ)+isin(nθ)]

过关自诊1.[2023江苏秦淮校级期中]已知复数D

知识点4复数三角形式的除法及运算律1.复数三角形式的除法运算若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)(z2≠0),

2.复数除法运算的几何意义

过关自诊计算下列各式:(2)原式=9(cos360°+isin360°)=9(1+0)=9.

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探究点一复数的模与辐角【例1】(1)若复数z满足=1,当复数z的辐角为30°时,复数z的模是()A.1 B.2 C.3 D.4A

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探究点二复数的三角形式与代数形式的互化【例2】[人教A版教材例题]把下列复数表示成三角形式:

(2)1-i.

变式训练2将下列复数化为三角形式:(2)sinθ+icosθ.

探究点三复数三角形式的乘、除运算及其几何意义B

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1234A.1 B.-1C.i D.-iC

12342.8i÷[2(cos45°+isin45°)]=.?解析8i÷[2(cos45°+