常微分计算题及解答.doc

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《常微分方程》计算题及答案

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计算题（每题10分）

1、求解微分方程。

2、试用逐次逼近法求方程通过点(0,0)的第三次近似解.

3、求解方程的通解4、求方程组的通解

5、求解微分方程

6、试用逐次逼近法求方程通过点(1,0)的第二次近似解。

7、求解方程的通解8、求方程组的通解

9、求解微分方程

10、试用逐次逼近法求方程通过(0,0)的第三次近似解.

11、求解方程的通解12、求方程组的通解

13、求解微分方程

14、试用逐次逼近法求方程通过点(0,0)的第三次逼近解.

15、求解方程的通解16、求解方程的通解

17、求方程组的通解18、解微分方程

19、试用逐次逼近法求方程满足初始条件的近似解：.

20、利用逐次逼近法，求方程适合初值条件的近似解：。

21、证明解的存在唯一性定理中的第次近似解与精确解有如下误差估计式：

。

22、求初值问题在区域的解的定义区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。

23、24、

25、26、

27、28、29、

30、31、

32、33、34、

35、

36、37、38、

39、40、

41、42、

43、44、

45、46、

47、48、49、

50、51、

52、53、

54、

55、56、

57、58、

59、60、

61、62、

63、64、

65、66、求微分方程的通解。

67、求的通解。68、求微分方程的通解。

故方程的通解为

17、解：化简有它的系数矩阵是

特征方程

或为?2-1=0（21）特征根?1=±1

原方程对应于?1=-1的一个特解为y1=e-t,x1=e-t

对应于?2=1的一个特解为y2=et,x2=3et

?原方程组的通解为

18、解：因

所以为全微分方程

将其分组

?原方程可写成

?方程的通解为

19、解：

20、解：零次近似解为

一次近似解为

二次近似解为

21、证：由及迭代列

得

设

则

由归纳法知，对任意次近似解，估计式（1）成立。

22、解：1）由存在唯一性定理知，解的定义区间为

其中。这里，从而，即得解的定义区间为。

2）求初值问题的二次近似解

则二次近似解为

3）由误差估计公式

其中L是李普希兹常数。因为，可取，则有

即第二次近似解在存在区间上的误差不超过。

23、解：方程可化为作变换，代入方程得到

进一步化简，得两边积分得

代回原变量，得原放通解

24、解：令，代入原方程得

这是齐次方程，再作变换，则方程化为

将变量分离，得

两边积分得

代回原变量，得通解

此外，即也是解，它包含在上述通解中。

25、解：首先求线性齐次方程的通解。

分离变量，得，两边积分得

设原方程通解为，代入原方程，得到

两边积分得于是，所求方程的通解为。

26、解：若对调与的地位，即可把方程化为

这是以为未知函数的一阶线性方程，先求线性齐次方程的通解。分离变量，得，两边积分得

为求得原方程通解，设，代入原方程，得

两边积分得所以，所求方程的通解为。

27、解：若对调与的地位，即可把方程化为

这是以为未知函数的一阶线性方程，先求线性齐次方程的通解。

分离变量，得，两边积分得

令，代入原方程，得

两边积分得

所以，所求方程的通解为。

28、解：原方程为，令，代入上式得（1）上式两边同乘，并整理得，两边积分得

这样，得到线性方程（1）的通解为

代回原变量，得原方程通解

此外，出现在分母位置，不可取0。

29、解：因为，所以有

因此方程为全微分方程。取，得

于是方程的通解为。

30、解：这里，于是

因此这是一个全微分方程。把方程重新分项组合，得到

即所以，方程的通解为

31、解：这里，

于是

因此这是一个全微分方程。即

所以，方程的通解为。

32、解：这里，经计