备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业二十四　两角和与差的三角函数.docx

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二十四两角和与差的三角函数

(时间:45分钟分值:85分)

【基础落实练】

1.(5分)tan105°等于()

A.2-3 B.-2-3

C.3-2 D.-3

【解析】选B.tan105°=tan(60°+45°)=tan60°+tan45

=(3+1)2(

2.(5分)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于()

A.0 B.12 C.1 D.

【解析】选C.sin15°cos75°+cos15°sin105°

=sin15°cos75°+cos15°sin75°

=sin(15°+75°)=sin90°=1.

3.(5分)(2023·长沙模拟)1-tan15°

A.1 B.3 C.33 D.

【解析】选C.1-tan15°1+tan15°

4.(5分)已知角α的终边经过点P(sin47°,cos47°),则sin(α-13°)等于()

A.12 B.32 C.-12 D

【解析】选A.由三角函数的定义,

得sinα=cos47°,cosα=sin47°,

则sin(α-13°)=sinαcos13°-cosαsin13°

=cos47°cos13°-sin47°sin13°

=cos(47°+13°)=cos60°=12

5.(5分)已知12sinα+32cosα=45,则sin(α+4π

A.-235 B.235 C.-4

【解析】选C.因为12sinα+32cosα=

所以sin(α+π3)=45,则sin(α+4π3)=sin(π+α+π3)=-sin(α+

6.(5分)(2024·长沙模拟)古希腊数学家泰特托斯详细地讨论了无理数的理论,他通过图来构造无理数2,3,5,…,如图,则cos∠BAD=()

A.26-336

C.23+66

【解析】选B.记∠BAC=α,∠CAD=β,

由题图知:sinα=cosα=22,sinβ=33,cosβ=

所以cos∠BAD=cos∠BAC+∠CAD=cosα+β=cosαcosβ

22×63-22×3

【加练备选】

(多选题)已知α,β,γ∈(0,π2),sinβ+sinγ=sinα,cosα+cosγ=cosβ,则下列说法正确的是(

A.cos(β-α)=32 B.cos(β-α)=

C.β-α=π6 D.β-α=-

【解析】选BD.由已知可得sin

所以1=sin2γ+cos2γ=(sinα-sinβ)2+(cosβ-cosα)2=2-2(cosβcosα+sinβsinα)=

2-2cos(β-α),所以cos(β-α)=12

因为α,β,γ∈(0,π2),则-π2β-α

因为sinγ=sinα-sinβ0,函数y=sinx在(0,π2)上单调递增,则αβ,则-π2β-α0,故β-α=-

7.(5分)sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=.?

【解析】sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)

=sin(α+β)cos(β-γ)-cos(α+β)sin(β-γ)

=sin[(α+β)-(β-γ)]=sin(α+γ).

答案:sin(α+γ)

8.(5分)满足等式(1+tanα)(1+tanβ)=2的数组(α,β)有无穷多个,试写出一个这样的数组.?

【解析】由(1+tanα)(1+tanβ)=2,

得1+tanβ+tanα+tanαtanβ=2,

所以tanβ+tanα=1-tanαtanβ,

所以tanβ+tanα1-

所以α+β=kπ+π4,k∈Z

所以α可以为0,β可以为π4(答案不唯一)

答案:(0,π4

9.(5分)(2024·北京模拟)设A(cosα,sinα),B(2cosβ,2sinβ),其中α,β∈R.当α=π,β=π2时,AB=;当AB=3时,α-β的一个取值为

【解析】根据题意可得当α=π,β=π2

可得A-1,0,

所以AB=-1-0

当AB=3时,

即cosα-2cos

整理可得5-4cosα

即cosα-β=12,可得α-β=±π

所以α-β的一个取值为π3

答案:5π3

10.(10分)已知α,β均为锐角,且sinα=35,tan(α-β)=-1

(1)求sin(α-β)的值;

【解析】(1)因为α,β∈(0,π2),所以-π2α-βπ2.又