备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业六十　圆锥曲线中的定点问题.pdf

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六十圆锥曲线中的定点问题

(时间:45分钟分值:40分)

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1.(10分)(2024·绍兴模拟)设抛物线C:y=2px(p0),过y轴上点P的直线l与C相

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切于点Q,且当l的斜率为时,|PQ|=25.

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(1)求C的方程;

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【解析】(1)当l的斜率为时,设直线l的方程为y=x+b,l与C的方程联立消去

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y,得x+4(b-2p)x+4b=0,当l与C相切时,Δ=16(b-2p)-16b=0,整理有b=p,

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此时x-4px+4p=0,所以x=2p,所以y=2p或-2p(舍去).故P(0,p),Q(2p,2p),所以

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|PQ|=(2-0)+(2-)=p=2,

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故p=2,所以C的方程为y=4x.

(2)过P且垂直于l的直线交C于M,N两点,若R为线段MN的中点,证明:直线

QR过定点.

【解析】(2)设直线l的方程为y=kx+m,

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l与C的方程联立,得kx+2(km-2)x+m=0,

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222

当l与C相切时,Δ=4(km-2)-4km=0,则km=1,m=,故Q(2,),

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设直线MN的方程为y=-x+,与C的方程联立有x-2(2k+1)x+1=0,

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设M(x,y),N(x,y),则x+x=2(2k+1),

112212

1111121+21+2

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y+y=