备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业六十三　圆锥曲线中的存在性问题.docx

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六十三圆锥曲线中的存在性问题

(时间:45分钟分值:40分)

1.(10分)(2024·郑州模拟)已知抛物线Γ:x2=2py(p0)上一点到焦点F的距离比它到直线y=-4的距离小3.

(1)求抛物线Γ的准线方程;

【解析】(1)因为抛物线Γ:x2=2py上一点到焦点F的距离比它到直线y=-4的距离小于3,

所以抛物线Γ:x2=2py上一点到焦点F的距离等于它到直线y=-1的距离,

所以-p2=-1,解得p=2,故抛物线Γ的方程是x2=4y,抛物线的准线方程为y=-1

(2)若过点F的直线l与抛物线Γ交于A,B两点,线段AB的中垂线与抛物线Γ的准线交于点C,请问:是否存在直线l,使得tan∠ACB=43?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由

【解析】(2)由题意得F(0,1),且l斜率一定存在,设l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),

由y=kx+1x2=4y,消去y可得x2-4kx-4=0,Δ=16k2+160,则x1+x2=4k

设AB中点为M,如图,则tan∠ACB=tan2∠ACM=2tan∠ACM1-tan

解得|CM|=2|AM|,即|CM|=|AB|.

当k=0时,易知|CM|=2,|AB|=|x1-x2|=(x

当k≠0时,设C(x3,y3),M(x4,y4).

因为CM垂直平分AB,所以CM的斜率为-1k

易知|CM|=1+k2|y3-y

因此有1+k2|y3-y4|=1+k2|x1-

因为M为AB的中点,

所以y4=y1+y22=

由题意,y3=-1,即|x1-x2|=2k2+2,16k2+16=2

两边平方整理可得k4-2k2-3=0,解得k=±3,

故存在直线l使得tan∠ACB=43,且直线l的方程为y=3x+1或y=-3x+1

2.(10分)(2024·扬州模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A,过右焦点F且平行于y

(1)求△APQ的内心坐标;

【解析】(1)因为a2=b2+c2,2b2a=a+c=3,所以a=2,b=3

所以椭圆C的标准方程为x24+

不妨取P(1,32),Q(1,-32),A(-2,0),F(1,0),则AP=352,

因为在△APQ中,AP=AQ,所以△APQ的内心在x轴上,设直线PT平分∠APQ,交x轴于T,则T为△APQ的内心,且ATTF=APPF=5=AT3-AT,所以AT=3

(2)是否存在定点D,使过点D的直线l交C于M,N,交PQ于点R,且满足MR·ND=MD·RN?若存在,求出该定点坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】(2)因为椭圆和弦PQ均关于x轴对称.若存在定点D,则点D必在x轴上,所以设D(t,0),

当直线l斜率存在时,设其方程为y=k(x-t),M(x1,y1),N(x2,y2),直线方程与椭圆方程联立y=

消去y得(4k2+3)x2-8k2tx+4(k2t2-3)=0,

则Δ=48(4k2+3-k2t2)0,x1+x2=8k

x1x2=4(k

因为点R的横坐标为1,M,R,N,D均在直线l上,MR·ND=MD·RN,

所以(1+k2)(1-x1)(t-x2)=(1+k2)(t-x1)(x2-1),

所以2t-(1+t)(x1+x2)+2x1x2=0,所以2t-(1+t)8k2t4k

因为点D在椭圆外,则直线l的斜率必存在,所以存在定点D(4,0)满足题意.

3.(10分)(2024·梅州模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点、右顶点分别为F,A,B(0,b),|AF|=1,点M在线段AB上,且满足|BM|=3|MA

(1)求双曲线C的方程.

【解析】(1)设c2=a2+b2(c0),所以F(c,0),A(a,0),B(0,b),

因为点M在线段AB上,且满足|BM|=3|MA|,所以点M(33+1a,1

因为直线OM的斜率为1,所以13+1b33

因为|AF|=1,所以c-a=1,解得a=1,b=3,c=2.

所以双曲线C的方程为x2-y23

(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P,Q两点,在x轴上是否存在与F不同的定点E,使得|EP|·|FQ|=|EQ|·|FP|恒成立?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】(2)假设在x轴上存在与F不同的定点E,使得|EP|·|FQ|=|EQ|·|FP|恒成立,

当直线l的斜率不存在时,E在x轴上任意位置,都有|EP|·|FQ|=|EQ|·|FP|;

当直线l的斜率存在且不为0时,设E(t,0),直线l的方程为x=ky+2,

直线l与双曲线C的右支相交于P,Q两点,则-