人教B版高中数学必修第一册精品课件 第2章 等式与不等式 习题课——不等式.ppt

习题课——不等式第二章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.掌握不等式的性质,并能应用性质证明一些简单问题.2.掌握证明不等式的常用方法:作差法、分析法、综合法和反证法.3.会解一元二次不等式.4.能灵活运用均值不等式求最值.5.提升逻辑推理和数学运算素养.

自主预习新知导学

一、不等式的性质1.(1)ab,c0?acbc;(2)ab,c0?acbc;(3)ab,bc?ac;(4)ab,cd?a+cb+d;(5)ab0,cd0?acbd;(6)ab0?anbn(n∈N,n1);

2.(1)下列命题是真命题的是()A.若,则abB.若ab,则a3b3C.若ab,b≥c,则a≥cD.若a≥b,c≥d,则ac≥bd答案:B(2)已知ab0,cd0,求证:acbd.证明:∵ab0,∴-a-b0.又cd0,∴-ac-bd,∴acbd.

二、一元二次不等式1.(1)如果x1x2,则不等式(x-x1)(x-x2)0的解集是(x1,x2),不等式(x-x1)(x-x2)0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞).(2)一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2k或(x-h)2k的形式,然后根据k的正负等知识可得到原不等式的解集.

2.解下列不等式:(1)(3-x)(x+6)≥0;(2)x2-4x+3≤0.解:(1)原不等式等价于(x-3)(x+6)≤0,解得-6≤x≤3,故原不等式的解集为[-6,3].(2)∵x2-4x+3≤0,∴(x-2)2≤1,∴-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.故原不等式的解集为[1,3].

三、均值不等式1.(1)如果a,b都是正数,那么,当且仅当a=b时,等号成立.(2)a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.

2.(1)已知t0,求的最小值.(2)已知x,y都是正实数,且x+2y-xy=0,求x+2y的最小值.令x+2y=t,则t2≥8t,∴t≤0或t≥8.∵t=x+2y0,∴t≥8,即x+2y的最小值为8.

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立.()(2)不等式x2≤0的解集为?.()(3)若-6a8,-4b2,则-2a-b6.()(4)若ab,cd,则a-cb-d.()×××√

合作探究释疑解惑

探究一证明不等式【例1】已知a0,a2-2ab+c2=0,bca2,求证:bca.分析:已知条件中含有等式和不等式,可考虑从等式出发,找出未知数间的等量关系,再代入不等式证明.

证法一：由a2-2ab+c2=0,a0,得b=,a2+c2=2ab.∵a0,∴b0.又bca20,∴c0.∵(a-c)2≥0,即a2+c2-2ac≥0,∴2ab-2ac≥0,即2a(b-c)≥0,∴b-c≥0.若b-c=0,即b=c,则由a2-2ab+c2=0,得a=b=c,∴bc=a2.这与bca2矛盾,∴b-c0,即bc.∴(a-c)(2a2+ac+c2)0.∵a0,b0,c0,∴a-c0,即ac.∴bca.

证法二：由a2+c2=2ab0,a0,得b0.由b0,bca2,得c0.∵2ab=a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时,等号成立.∴b≥c.若b=c,则a=b=c,∴bc=a2,这与bca2矛盾.∴bc.由bc,bca2,得b2bca2,∴ba.又a2+c2=2ab2a2,∴c2a2,∴ca.综上可知bca.

不等式的性质和均值不等式是进行不等关系推理运算的理论基础和工具,应注意准确应用,保证每一步的推理都有根据.证明时可灵活运用不等式证明的各种方法,如作差法、分析法、综合法、反证法等.

【变式训练1】已知x,y,z都是正实数,且满足条件xyz(x+y+z)=1,求证:(x+y)(y+z)≥2.证明:∵x,y,z都是正实数,xyz(x+y+z)=1,

探究二一元二次不等式恒成立问题【例2】已知关于x的不等式x2+(a+1)x+10,x∈(0,2)恒成立,求实数a的取值范围.

将本例变为关于a的不等式x2+(a+1)x+10,a∈(0,2)恒成立,求x的取值范围.

一元二次不等式恒成立问题可转化为函数最值问题求解或根据相应函数图象特点求解.

【变式训练2】若关于x的不等式ax2+(a-1)x+a-10对x∈R恒成立,则a的取值范围为.?解析:当a0时,二次函数y=ax2+(a-1)x+a-1的图象开口向上,不合题意;当a=0时,不等式化为x+10,