备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业四十七　利用空间向量研究直线、平面的位置关系.docx

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四十七利用空间向量研究直线、平面的位置关系

(时间:45分钟分值:75分)

【基础落实练】

1.(5分)已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是()

A.(1,-1,1) B.1

C.1,-3,32

【解析】选B.由题意可知符合条件的点P应满足PA·n=0,选项A,PA=(2,-1,2)-(1,-1,1)=(1,0,1),PA·n=3×1+1×0+2×1=5≠0,故不在平面α内;

同理可得:选项B,PA=(1,-4,12),PA·n=0,故在平面α

选项C,PA=(1,2,12),PA·n=6≠0,故不在平面α

选项D,PA=(3,-4,72),PA·n=12≠0,故不在平面α内

2.(5分)已知向量m=(2,-4x,1)是平面α的法向量,n=(6,12,-3y)是直线l的方向向量,若l⊥α,则x+y=()

A.-4 B.4 C.-2 D.2

【解析】选C.因为n是直线l的方向向量,m是平面α的法向量,l⊥α,所以m∥n,

所以26=-4x12=1-3y,解得x=-1,

3.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是()

A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2)

C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)

【解析】选B.设AB=2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),

AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2),设平面AEF的法向量n=(x,y,z),

则n·AE=2y+z

4.(5分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=2a3,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(

A.相交 B.平行

C.垂直 D.不能确定

【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.

因为A1M=AN=2a3,A1B=AC=2a,所以M(a,23a,a3),N(23a,

所以MN=(-a3,0,23

又因为C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以C1D1=(0,a,0),所以MN·C1D

因为C1D1是平面BB1C1C的一个法向量,且MN?平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1

5.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则()

A.BD1⊥平面B1EF B.BD⊥平面B1EF

C.A1C1∥平面B1EF D.A1D∥平面B1EF

【解析】选C.以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设AB=2,则B12,2,2,E2

B2,2,0,A12,0

D1(0,0,2).EF=-1,1,0,EB1

DB=2,2,0,A1

设平面B1EF的法向量为m=x,y,z,则m·

因为BD1与m不平行,所以BD1与平面B1

因为DB与m不平行,所以BD与平面B1EF不垂直,B错误;

因为A1C1·m=0,且直线A1C1在平面B1EF外,所以A1C1∥平面B

因为DA1·m=2≠0,所以A1D与平面B1EF

6.(5分)(多选题)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,如图所示建立空间直角坐标系,则下列说法正确的有()

A.DB1=32

B.向量AE与AC1

C.平面AEF的一个法向量是(4,-1,2)

D.A1D⊥BD1

【解析】选BCD.根据空间直角坐标系D-xyz,可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),由于E为BB1的中点,F为A1D1的中点,所以E(2,2,1),F(1,0,2),

故DB1=|DB1|=22

对于B,因为AE=(0,2,1),AC1=(-2,2,2),所以|AE|=5,|AC

故cosAE,AC1=AE·AC

对于C,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),因为AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2),

所以n·AE=0n·AF=0,整理得y=-

对于D,由于A1D=(-2,0,-2),BD1=(-2,-2,2),故A1D·BD1=0,故

【加练备选】

(多选题)以下命题正确的是()

A.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量b=(1,