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专题五：圆锥曲线中的最值与范围

“以能力立意命题”是考试大纲总的要求，也是高考命题总的方

向．对学生能力的考察离不开思想方法的考察，在圆锥曲线的背景下

讨论最值或范围问题，能系统的将函数与方程的思想、数形结合思想

等多种数学思想结合在一起，更利于综合考察学生的能力．

Part1

整理方法提升能力

圆锥曲线中的最值与范围问题的类型较多，解法灵活多变，但总

体上主要有以下3种方法：

方法1：几何法．若题目的条件或结论能明显体现几何特征及意义，

则考虑利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进

行求解．

方法2：代数法．把所求的量表示为某个（某些）参数的函数解析

式，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．对于大多数题目来

说，主要是选择一个参数去表示所求的量，从而把问题转化为求函数

的值域问题．由于引进的参数往往不只一个，所以解题时通常涉及到

消参问题．如果用两个参数去表示所求的量（不能通过消参留下一个

未知数），则往往考虑使用均值不等式．

方法3：不等式（组）法．由题目所给的条件寻找所求量满足的不

等式（组），通过该不等式（组）的求解得到所求量的最值或取值范

围．

上述三种方法中，方法主要在小题中体现，解答题中以方法2最

为常见．

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【点评】利用代数法求最值或范围问题，其难点在于选用一个

（或两个）参数去表示目标函数．我们常常可以从直线的斜率、截距、

点的坐标等角度引进参数，然后根据题目所给的条件消去参数，直至

剩下一个参数或两个参数（以一个参数的情况占绝大多数）．

一是分式，二是分子和分母的最高次数一致．求这种特点的函数

最值的常见方法有两种，一是将分子或分母看成一个整体，最多经历

两次换元得到一个二次函数；二是分离参数，再使用基本不等式．法2

在分离参数后，需要换元才能使用基本不等式，因此法2比法1的二

次函数法要复杂很多.

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Part2

练习巩固整合提升

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