备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业五十八　直线和双曲线.docx

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五十八直线和双曲线

(时间:45分钟分值:90分)

【基础落实练】

1.(5分)(2024·大连模拟)过双曲线x2-y2=2的左焦点作直线l,与双曲线交于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有()

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

【解析】选D.由题意得双曲线左焦点(-2,0),当直线垂直于横轴时,|AB|=22不符合题意,双曲线渐近线方程为y=±x;

故可设l:y=k(x+2)(k≠±1),A(x1,y1),B(x2,y2),与双曲线联立可得y=k(x+2)x2-y2=2?(1-k

x1+x2=4k21-k2,x1

由弦长公式知|AB|=k2+1|x1-x2|=k2+1·8(k2+1)|

则k=±(2-1)或k=±(2+1).

故存在四条直线满足条件.

2.(5分)(2024·福州模拟)已知双曲线C的方程为x24-y2=1,点P,Q分别在双曲线的左支和右支上,则直线PQ的斜率的取值范围是(

A.(-12,1

B.(-2,2)

C.(-∞,-12)∪(1

D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

【解析】选A.双曲线x24-y2=1的渐近线方程为y=±12x

依题意,点P,Q分别在双曲线的左支和右支上,所以直线PQ的斜率的取值范围是(-12,12

3.(5分)(2024·昆明模拟)已知F为双曲线C:x23-y2=1的左焦点,过F的一条直线l与双曲线C交于A,B两点,与双曲线C的渐近线交于D,E两点,若|AB||DE|

A.±36 B.±34 C.±53

【解析】选A.据题意,设直线l:y=k(x+2),两条渐近线满足方程x23-y

由y=k(x+2)x23-y2

整理得(1-3k2)x2-12k2x-12k2-3=0,

Δ1=144k4+4(1-3k2)(12k2+3)=12k2+12,

由y=k(x+2)x23-y2

整理得(1-3k2)x2-12k2x-12k2=0,

Δ2=144k4+48k2(1-3k2)=48k2,

|AB|=1+k2·Δ1|1-3

所以|AB||DE|=Δ1Δ2=

4.(5分)(2024·北海模拟)已知直线y=x+1与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线交于A,B两点,且A在第一象限.O为坐标原点,若|OA|=2|

A.5 B.10 C.2 D.5

【解析】选B.因为|OA|=2|OB|,所以xA=-2xB,

设B(m,m+1),则A(-2m,-2m+1),

因为kOA+kOB=0,所以m+1m+

解得m=-14,所以A(12,

所以ba=3,则e=ca=1+b

5.(5分)(多选题)(2024·石家庄模拟)已知双曲线C:x2a2-y2=1(a0),若圆M:(x-2)2+y2=1与双曲线C

A.双曲线C的渐近线方程为x±3y=0

B.双曲线C的实轴长为6

C.双曲线C的离心率e=2

D.过双曲线C的右焦点的直线与圆M交于A,B两点,则弦长|AB|=2

【解析】选ACD.双曲线的渐近线方程为x±ay=0,圆M的圆心为(2,0),半径为1,所以圆心到渐近线的距离d=21+a2=1,得a=3(负值舍去),所以双曲线的渐近线方程为x±3y=0,故A正确;双曲线方程为x23-y2=1,双曲线C的实轴长为23,故B错误;c2=a2+b2=3+1=4,所以双曲线的离心率e=c

因为双曲线的右焦点是圆M的圆心,所以弦长为直径,所以|AB|=2,故D正确.

6.(5分)(多选题)已知曲线C:x24+m+y21+m=1

A.若曲线C为椭圆或双曲线,则其焦点坐标为(±3,0)

B.若曲线C是椭圆,则m-1

C.若m-1且m≠-4,则曲线C是双曲线

D.直线kx-y-k=0k∈R与曲线

【解析】选AB.若曲线表示椭圆,

因为4+m1+m,

所以a2=4+m0,b2=1+m0,则m-1,

即椭圆焦点在x轴,则c2=a2-b2=3,得c=3,

此时焦点坐标为±3

若曲线表示双曲线,由4+m1+m

此时双曲线的标准方程为x24+m

则a2=4+m,b2=-1-m,

即焦点在x轴,则c2=a2+b2=3,得c=3,

此时焦点坐标为±3

由kx-y-k=0得kx-1-

即直线过定点M1,

当曲线为双曲线时,-4m-1,

此时a2=4+m∈0,

当m=-2时,a2=2,此时,双曲线右顶点为2,0,在点M

此时直线与曲线C不一定有两个交点,故D错误.

7.(5分)(2024·南京模拟)已知双曲线C过点(3,2),且渐近线为y=±33x,则双曲线C的方程为__________;若动直线y=k(x-2)与双曲线C的同一支有两个不同的交点,则实数k的取值范围为____