人教B版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第二章 等式与不等式 2.2.4 均值不等式及其应用.ppt

;内容索引;课标要求;基础落实?必备知识全过关;知识点1均值不等式;名师点睛1.重要不等式

对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.

2.不等式a2+b2≥2ab的变形

;3.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的异同;4.均值不等式的变形

第一个变形体现了两正数的积与两正数和的平方之间的关系.当不等式的一端为定值时,另一端就可以取最值.;过关自诊;2.已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab()

A.有最大值2,有最小值-2

B.有最大值2,但无最小值

C.有最小值2,但无最大值

D.有最大值2,有最小值0

答案A

解析因为a,b∈R,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值为2,最小值为-2.;3.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论.

提示(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在均值不等式a+b≥2中,a,b0.

(2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实质不同(范围不同).

(3)证明的方法都是作差比较法.

(4)都可以用来求最值.;知识点2重要结论

已知x,y都为正数,则

1.若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值S2.

2.若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值.;名师点睛利用均值不等式求最值注意事项

在应用均值不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可.;另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次等号成立的字母取值存在且一致.;过关自诊

1.已知x,y0,且x+4y=1,则xy的最大值为.?;重难探究?能力素养全提升;;答案(1)D(2)C;规律方法1.均值不等式(a0,b0)反映了两个正数的和与积之间的关系.

2.对均值不等式的掌握要抓住以下两个方面:

(1)成立的条件是a,b都是正数;;变式训练1设0ab,则下列不等式中正确的是();;答案(1)C(2)8;规律方法利用均值不等式求最值时要注意:

(1)x,y一定要都是正数.

(2)求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,应看积xy是否为定值.

(3)等号是否能够成立.;;规律方法通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方??的问题:

(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.

(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.;;技巧二:添项;技巧三:放入根号内或两边平方

分析求积的最值(因式中含根号),把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号,整合结构形式,凑成定和,是解决本题的关键所在.;学以致用?随堂检测全达标;1.y=2x+(x0)有()

A.最大值8 B.最小值8

C.最大值4 D.最小值4

答案B;答案8;本课结束