人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.2.3 直线与平面的夹角.ppt

;内容索引;;自主预习新知导学;一、直线与平面的夹角

1.若直线l是平面α的一条斜线,l在平面α内的射影为l,直线a是平面α内一条直线,设直线l与l所成角为θ1,直线l与a所成角为θ2,请问θ1,θ2的大小关系是什么?

提示:θ1≤θ2.;2.(1)直线与平面的夹角

①如果一条直线与一个平面垂直,则称这条直线与这个平面所成的角为

90°;

②如果一条直线与一个平面平行,或直线在平面内,则称这条直线与这个平面所成的角为0°;

③平面的斜线与它在平面内的射影所成的角,称为这条斜线与平面所成的角;

④直线与平面的夹角的范围是.;(2)斜线与平面所成角的性质

①如图,OA是OA在平面α内的射影,OM?α,θ是OA与OM所成的角,θ1是OA与OA所成的角,θ2是OA与OM所成的角,则cosθ=cosθ1cosθ2.?

②平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.

(3)直线与平面所成的角也称为它们的夹角.;3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为侧面BCC1B1的中心,则AO与平面ABCD所成角的正弦值为();解析:如图,设BC的中点为E,连接AE,OE,易知AE⊥OE,则∠OAE就是AO与平面ABCD所成角.

设正方体的棱长为a.;二、借助直线的方向向量、平面的法向量研究直线与平面所成角的关系

1.直线l是平面α的一条斜线,v是l的一个方向向量,u是平面α的一个法向量,v,u和l与α所成的角θ有什么关系?;3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是.?;【思考辨析】

判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)直线与平面所成角θ的取值范围是0°θ≤90°.()

(2)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角相等.

()

(3)斜线与平面的夹角是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.

()

(4)若直线l与平面α所成角为θ,直线l的方向向量v与平面α的法向量n的夹角为v,n,则有sinθ=|cosv,n|.();合作探究释疑解惑;;解:如图,过A,E分别作AO⊥平面BCD,EG⊥平面BCD,O,G为垂足,连接GC,延长DO交BC于点F.

∴AO∥GE,AO=2GE,AO,GE确定平面AOD,∠ECG为CE和平面BCD所成的角.

∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.

∵△BCD是正三角形,

∴点O为△BCD的中心,点F为BC的中点.;作直线与平面夹角的??般方法:在直线上找一点,通过这个点作平面的垂线,从而确定射影,找到目标角.关键是作出(或找到)直线在平面内的射影.此方法简述为“一作,二证,三求”.;【变式训练1】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,求BD与平面PAB所成的角.;解:∵PD⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,

∴PD⊥AB.

又DA⊥AB,PD∩DA=D,

∴AB⊥平面PDA.

∵AB?平面PAB,

∴平面PAD⊥平面PAB.

取PA的中点为E,连接DE,BE,

∵PD=DC=DA,

∴DE⊥PA.;又DE?平面PAD,平面PAD⊥平面PAB,平面PAD∩平面PAB=PA,

∴DE⊥平面PAB.

∴∠DBE为BD与平面PAB所成的角.;;解:∵∠AOB=∠AOC=60°,

∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线,作∠BOC的平分线OH交BC于点H,∠AOH即为OA与平面α所成的角.;公式cosθ=cosθ1cosθ2的作用主要是用于求线面角,但在应用时,必须弄清θ,θ1,θ2的含义.;【变式训练2】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD.若∠PBC=60°,求直线PB与平面ABCD所成的角θ.;解:连接BD,由题意,得∠CBD=45°,∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ.;;在本例的条件下,求PA与平面AEF所成的角.;向量法求线面角的优点是不需要找出线面角,缺点是运算量大.;【变式训练3】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a,求AC1与侧面ABB1A1所成的角.;;建立空间直角坐标系,利用向量坐标解决立体几何中的探索问题,可通过建立方程(或函数),将几何问题代数化求解.;【变式训练】如图,在三棱锥V-ABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC,D是AB的中点,且AC=BC=2,∠VDC=θ.若平面VAB⊥平面VCD,则当角θ变化时,求直线BC与平面VAB所成角的取值范围.;随堂练习;1.若直线l与平面α所成的角为,则直线l与平面α内的直线所成角中最大和最小的角分别是(