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《数学分析（三）》课程教学大纲

课程总学时/学分：108/6

课程类别：学科基础与专业必修课

一、教学目的和任务

本课程是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、应用统计学专业的一门

重要基础课，是学习实变函数、复变函数、常微分方程、泛函分析、概率论与数理统计等后续课程的基础。使学生掌握多元函数的极限理论、多元函数的微分学与多元函数的积分学等方面的系统知识。

二、教学基本要求

通过本课程的学习，使学生对多元函数的极限理论、多元函数的微分学与多元

函数的积分学有系统地、全面地、正确的认识。掌握多元函数的极限理论、多元函数的微分学与多元函数的积分学基本的解题方法，获得较熟练的演算和解决实际问题的能力。

本课程重点讲授多元函数的极限理论、多元函数的微分学、多元函数的积分学。

主要采用讲授的方式，对部分内容和习题课可采用讨论式教学。

教材选用国家级规划教材.

三、教学内容及学时分配

第十六章多元函数的极限与连续（12学时）

教学要求：

1．掌握聚点、内点、开集、闭集、开区域、闭区域等概念。

2．理解R2上的完备性定理。

3．掌握二元函数重极限、累次极限定义，会求重极限与累次极限。

4．掌握二元函数连续与一致连续的定义，以及有界闭域上连续函数的性质。

教学重点：

聚点、内点、开集、闭集、开区域、闭区域等概念，二重极限、累次极限定义

及求法，二元函数连续与一致连续的定义，有界闭域上连续函数的性质。

教学难点：

二重极限、累次极限定义及求法，有界闭域上连续函数的性质应用。

第十七章多元函数微分学（22学时）

教学要求：

1．掌握偏导数的定义及求偏导数的方法，特别是多元复合函数求偏导数的求法。

2．理解全微分的概念及意义，掌握一阶微分形式不变性，会求多元函数全微分。

3．能够将简单的二元函数展成泰勒公式或马克劳林公式，掌握二元函数的中值

定理。

4．会求二元函数的极值和最值。

5．掌握方向导数、梯度的定义，会求函数的梯度和沿指定方向的方向导数。

教学重点：

1．偏导数定义及求偏导数的方法，复合函数求偏导数的求法，全微分的概念及

求法，二元函数的中值定理，二元函数的极值和最值求法，方向导数的定义及求法。

2．二元函数连续、偏导数存在（连续）、可微之间的关系。

教学难点：

复合函数偏导数的求法，二元函数连续、偏导数存在（连续）、可微之间的关系。

第十八章隐函数定理及其应用（12学时）

教学要求：

1．深刻理解隐函数的概念与意义，掌握由一个方程确定隐函数的充分条件。

2．掌握二元函数组在一点的邻域内存在反函数组的条件。

3．会求隐函数及隐函数组的导数或偏导数及高阶导数或偏导数。

4．会求函数组的函数行列式，并掌握函数行列式性质。

5．会求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法

线。

6．掌握条件极值的必要条件，并会用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学重点：

1．隐函数定理的内容及意义，隐函数定理的应用。

2．隐函数及隐函数组的导数或偏导数的求法。

3．平面曲线的切线与法线的求法，空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与

法线的求法。

4．条件极值的求法。

教学难点：

隐函数及隐函数组的导数或偏导数的求法，拉格朗日乘数法求条件极值的方法。

第十九章含参量积分（14学时）

教学要求：

1．掌握含参量正常积分的分析性质并会求导数。

2．掌握含参变量反常积分的分析性质及其证明。

3．掌握含参量反常积分的一致收敛定义及其判别法，会叙述非一致收敛定义。

4．会利用含参量正常积分、含参变量反常积分的分析性质进行计算。

5．了解Γ?函数和B?函数的定义及其性质，并会用Γ?函数和B?函数计算一

些积分的值。

教学重点：

1．含参量正常积分分析性质的应用。

2．含参量反常积分的一致收敛定义及其判别法。

3．含参变量反常积分的分析性质及其证明。

4．Γ?函数和B?函数的定义及其性质。

教学难点：

1．含参量正常积分分析性质的应用。

2．含参量反常积分的一致收敛定义及其判别法。

3．含参变量反常积分的分析性质的应用。

第二十章曲线积分（6学时）

教学要求：

1．掌握第一型曲线积分的性质及物理意义，熟练计算第一型曲线积分。

2．掌握第二型曲线积分的性质及物理意义，熟练计算第二型曲线积分。

教学重点：

第一型曲线积分的计算，第二型曲线积分的计算。

教学难点：

第二型曲线积分的计算。

第二十一章重积分（30学时）

教学要求：

1．掌握二重积分的定义，可积条件、性质，几何意义。

2．熟练地计算二重积分，会根据被积函数和积分域的不同特点，选取不同的计

算方法。

3．熟练地利用格林公式进行计算。

4．掌握曲线积分与路线无关的条件并能用它求第二型曲线积分。

5．理解三重积分的定义及物理意义，能运用柱坐标变换和球坐标变换计算三重

积分。

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