第五节-随机变量的数字特征、切比雪夫不等式.ppt

例11设ξ~N(?,?2),求Dξ解例12在[0,1]中随机地取两个数ξ,η,解110求D(min{ξ,η})标准化随机变量设随机变量ξ的期望Eξ、方差Dξ为ξ的标准化随机变量.显然，都存在,且Dξ?0,则称切比雪夫不等式定理3.4对任意随机变量ξ,若则对任一实数恒有或者写成等价的形式：证以连续型随机变量的情形为例，在离散的情形只需把下面的求积分变换为求和即可.设ξ的密度函数为若随机量ξ服从正态分布：则由切比雪夫不等式可得：在前面已经指出：故有比较上述结果！例13设有一大批种子，其中良种占1/6.解设ξ表示6000粒种子中的良种数,ξ~B(6000,1/6)试估计在任选的6000粒种子中,良种所占比例与1/6比较上下小于1%的概率.实际精确计算用Poisson分布近似计算取?=1000例14设每次试验中，事件A发生的概率解设ξ表示n次独立重复试验中事件Aξ~B(n,0.75)要使，求n问题为0.75,试用Chebyshev不等式估计,n多大时,才能在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率大于0.90?发生的次数,则即即由Chebyshev不等式，?=0.01n,故令解得命题证明若显然有设则显然存在，从而有由此知从而协方差及其性质定义3.9设是一个二维随机变量，又则称为与的协方差，并记作即协方差的性质（1）（2）若a，b为两个任意常数，则（3）定义3.10设是一个二维随机变量，又则称为随机变量与的相关系数。引理3.2若是一个二维随机变量，又则有-------Cauchy—Schwarz不等式等式成立当且仅当此处是某一个常数。证明对任意实数t，定义显然，对一切t，因此，二次方程或者没有实根，或者有一个重根。所以这就是Cauchy—Schwarz不等式。此外，方程有一个重根存在的充要条件是这时有因此有此即由Cauchy—Schwarz不等式可得相关系数的性质：定理3.5设二维随机变量的两个分量与的相关系数为则有（1）（2）的充要条件是与以概率1线性相关。即存在常数a与b，使有证明（1）令则有（2）由上式知，等价于这相当于在引理的证明中，二次方程有一个重根即而所以由前述命题可得将其改记为其中均为常数。例15设令试求与的相关系数例16设其中的参数正是与的相关系数.随机变量的各阶矩若ξ是随机变量则有ξ的k阶原点矩：ξ的k阶中心矩：的k+l阶混合原点矩：的k+l阶混合中心矩：协方差阵设是n维随机向量，定义记显然-----协方差阵协方差阵的性质（1）对称性：（2）非负定性：若是一个任意的n实向量，则总有非负定性的证明令此时有此即这说明矩阵B是半正定的。对于二维正态分布，有容易算得从而记则二维正态分布的密度函数为*第五节随机变量的数字特征、切比雪夫不等式设连续型r.v.ξ的p.d.f.为若广义积分数学期望的本质——加权平均，它是一个数，不定义再是r.v.则称为ξ的数学期望，即记作例1设求解的概率密度函数为：例2指数分布的数学期望密度函数：例3解密度函数：ξ~N(?,?2),求Eξ.注意不是所有的r.v.都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散，它的数学期望不存在!r.v.函数的数学期望定理3.2若是连续型随机变量，其密度函数为又是实变量x的函数，且则有定理3.3设是二维连续型随机变量，密度函数为又是二元函数，且则有下式成立数学期望的性质（1）若则存在，且有特别，若C是一个常数，则（2）其中c为常数。（3）对任一二维连续型随机变量若、存在，则对任意的、存在，且更一般地有：其中是n维随机变量，且存在是常数。（4）若是相互独立的随机变量，其数学期望均且也存在,存在，则性质4的逆命题不成立，即注若不一定独立.若存在数a使