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《高等代数（二）》课程教学大纲

课程总学时/学分：90/5

课程类别：学科基础与专业必修课

一、教学目的和任务

高等代数（二）是数学专业的一门重要基础课程，是中学代数和高等代数（一）

的继续和提高，同时又是继续学习和研究数学的基础课程。通过这门课程的教学，

使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，以加深对中

学数学的理解，并为进一步学习打下基础。

二、教学基本要求

通过本课程的学习，使学生熟练掌握高等代数的基本概念，深刻理解其基本理

论，旨在培养学生的代数学的思想方法，提高学生解决高等代数问题的能力和水平，

为将来进一步学习较高层次的数学理论打好基础。

二、教学内容及学时分配

第六章线性空间（25学时）

教学要求：

1．正确理解并熟悉向量空间的定义及性质，熟悉一些常见的具体的向量空间，

会判断给定的集合对指定的运算是否构成向量空间。

2．正确理解并切实掌握子空间的定义及判定定理，牢固地掌握子空间的交与和

的概念，并会求它们的基与维数。

3．透彻理解并切实掌握向量组线性相关性的有关概念和性质，能准确地判定向

量间的线性关系，正确理解向量组的等价、极大无关组、秩的概念，会求向量组的

极大无关组和秩，掌握替换定理，并会用它证明有关问题。

4．深入理解并牢记基与维数的概念，会确定有限维向量空间的基与维数，掌握

基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵及向量在给定基下的坐标。

5．利用向量与坐标的对应关系，会判断有限维向量空间中任一组向量的线性相

关性。

6．理解并熟记向量空间同构的概念、性质和作用，会判断两向量空间是否同构。

7．会证维数公式并用之证明有关问题，切实掌握直和的概念及判定定理。

教学重点：

线性空间的维数与基，子空间的性质，线性空间的直和及其证明。

教学难点：

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求线性空间的维数与基，子空间的覆盖，线性空间直和的证明。

第七章线性变换（30学时）

教学要求：

1．深刻理解线性变换的定义及性质，能判断向量空间的变换是否为线性变换，

切实掌握线性变换的运算和性质，并能运用这些知识进行计算和证明。

2．牢记线性变换关于基的矩阵的概念，熟练掌握一个线性变换在一个基上的向

量表示法及坐标表示法，明确同一线性变换关于不同基的矩阵间的关系，切实掌握

相似矩阵的概念及性质。

3．切实了解不变子空间的概念及其在简化线性变换的矩阵中的作用。

4．牢记特征根、特征向量、特征多项式的定义，掌握线性变换的特征根、特征

向量与线性变换的矩阵的特征根、特征向量的关系与区别。

5．熟练掌握特征根、特征向量的求法及理论根据。

6．明确线性变换可对角化与矩阵可对角化的概念，熟记线性变换及矩阵可对角

化的充要条件，并在可对角化的情形，掌握线性变换、矩阵对角化的方法。

7．了解矩阵的若尔当（Jordan）标准形和矩阵的最小多项式。

教学重点：

线性变换与矩阵的关系，值域与核的性质与求法，矩阵对角化的充要条件与证

明，不变子空间的性质，不变子空间的直和分解。

教学难点：

值域与核的性质与求法，矩阵对角化证明，不变子空间的性质，不变子空间的

直和分解。

第八章λ-矩阵（17学时）

教学要求：

1．掌握矩阵的标准形，行列式因子，不变因子，初等因子的概念及求法。

2．牢记矩阵相似的各个等价条件。

3．了解若尔当（Jordan）标准形的理论推导。

4．了解矩阵的有理标准形

教学重点：

线性变换与矩阵的关系，值域与核的性质与求法，矩阵对角化的充要条件与证

明，不变子空间的性质，不变子空间的直和分解。

教学难点：

值域与核的性质与求法，矩阵对角化证明，不变子空间的性质，不变子空间的

直和分解。

第九章欧几里得空间（18学时）

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教学要求：

1．牢记欧氏空间的定义及一些常见的欧氏空间的例子，及向量的内积、向量的

长度、向量的夹角、正交、距离等概念和性质，熟记柯西--布涅可夫斯基不等式的内

容及证明方法。

2．掌握标准正交基的概念及性质，能熟练用施密特正交化方法求标准正交基。

3．理解欧氏空间的同构的概念及两个有限维欧氏空间同构的条件。

4．掌握正交变换的概念和性质及欧氏空间的变换是正交变换的几个等价条件。

5．掌握实对称矩阵和对称变换的概念和性质，化实对称矩阵为对角形和化实二

次型为标准形的一般方法，及由此得出的正定矩阵（二次型）的等价条件。

教学重点：

内积及其矩阵表示，熟练掌握度量矩阵及其性质，标准正交基性质与施密特正

交化方法，三种常用的变换及其性质。

教学难点：

施密特正交化方法，三种常用的变换及其性质。

四、推荐教材及参考书目

[1]北京大学数学系.高等代数（第四版）.高等教育出版社，2003

[2]张禾瑞、郝炳新.高等代数（第三版）.高等教育出版社，1984

[3]王品超.高等代数新方法.山东教育出版社，2001

[4]杨