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;1.会求指数型函数、对数型函数的单调性、值域等问题.
2掌握判断指数型函数、对数型函数单调性的方法.;;;例1(1)函数的单调递减区间是
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞);(2)判断函数f(x)=的单调性,并求其值域.;解函数的定义域是R.
令u=-x2+2x,则y=2u.
当x∈(-∞,1]时,函数u=-x2+2x单调递增,
当x∈[1,+∞)时,函数u=-x2+2x单调递减,
又函数y=2u在R上是增函数,
所以函数在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,
综上,函数的单调递减区间是[1,+∞),单调递增区间是(-∞,1].;解函数y=4x-2x+1-3的定义域为R,设t=2x,则t0.
因为y=4x-2x+1-3=(2x)2-2×2x-3=t2-2t-3=(t-1)2-4≥-4,
所以函数y=4x-2x+1-3的值域为[-4,+∞).
因为y=t2-2t-3在(-∞,1]上单调递减,此时由t≤1得x≤0.
又指数函数t=2x在(-∞,0]上单调递增,
所以函数y=4x-2x+1-3的单调递减区间为(-∞,0].
同理,因为y=t2-2t-3在[1,+∞)上单调递增,此时由t≥1得x≥0.
又指数函数t=2x在[0,+∞)上单调递增,
所以函数y=4x-2x+1-3的单调递增区间为[0,+∞).;反思感悟(1)求指数型函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考察f(u)和φ(x)的单调性,利用同增异减原则,求出y=f(φ(x))的单调性.
(2)关于指数型函数y=af(x)(a0,且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a1还是0a1;二是f(x)的单调性,它由两个函数y=au,u=f(x)复合而成.;跟踪训练1函数的单调递减区间为;;例2求函数的单调区间.;解由于方程x2-3x+5=0的判别式Δ=(-3)2-4×5=-110,
∴x2-3x+50恒成立,即函数的定义域为R.;解令t=log0.4x,则它在(0,+∞)上单调递减.
y=t2-2t+2=(t-1)2+1在[1,+∞)上单调递增,
在(-∞,1]上单调递减.
由t=log0.4x≥1得0x≤0.4;
由t=log0.4x1得x0.4,
故所求函数的单调递增区间为(0.4,+∞),单调递减区间为(0,0.4].;反思感悟函数单调性的判定方法与策略
(1)定义法:一般步骤:设元→作差→变形→判断符号→得出结论;
(2)图象法:如果函数f(x)是以图象形式给出或函数f(x)的图象易作出,结合图象可求得函数的单调区间;
(3)y=f(g(x))型函数:先将函数y=f(g(x))分解为y=f(t)和t=g(x),再讨论这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定.;解由题意知1-x20,∴-1x1.
令t=1-x2,x∈(-1,1),
则当x∈(-1,0]时,函数t=1-x2单调递增,单调递减.
∴当x∈(-1,0]时,单调递减.
同理,当x∈(0,1)时,单调递增.
故的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(-1,0].;;解f(x)=log2(4x)·;当t=2时,ymin=-2.;反思感悟求对数型函数的值域一般是先求真数的范围,然后利用对数函数的单调性求解.;解f(x)的定义域为R.
∵3x0,∴3x+11.
∵y=log2x在(0,+∞)上单调递增,
∴log2(3x+1)log21=0,
∴f(x)的值域为(0,+∞).;又∵1≤x≤4,∴0≤log2x≤2,;1.知识清单:
(1)指数型函数的单调性.
(2)求对数型函数的单调性及值域问题.
(3)指数型或对数型函数的综合应用.
2.方法归纳:换元法.
3.常见误区:求对数型函数的单调性易忽视定义域.;;A.(-∞,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1);1;解析由题意,得要使函数有意义,则满足-x2+2x+30,
即x2-2x-3=(x-3)(x+1)0,解得-1x3,
即函数的定义域为(-1,3),
令g(x)=-x2+2x+3,则函数g(x)表示开口向下,
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