人教B版高中数学必修第二册精品课件 第四章 4.4 幂函数.ppt

4.4幂函数第四章

内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.掌握幂函数的概念、图象和性质.2.熟悉α=1,2,3,-1,时的五类幂函数的图象、性质及其特点.3.能利用幂函数的性质来解决实际问题.4.加强直观想象、数学运算的能力培养.

自主预习新知导学

一、幂函数的概念提示:解析式是一个幂,幂底数只有一个自变量x,幂指数是常数.2.一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数,x是自变量.

二、幂函数的性质1.若让你作出函数y=x3,的图象,你会按怎样的步骤进行?提示:先求定义域,再研究函数性质(奇偶性、单调性、对称性等),然后用描点法作出图象(或部分图象),最后成图.

2.(1)常见的幂函数的图象与性质解析式y=xy=x2y=x3图象定义域RRR{x|x≠0}[0,+∞)值域R[0,+∞)R{y|y≠0}[0,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数

解析式y=xy=x2y=x3单调性在区间(-∞,+∞)内单调递增在区间(-∞,0]上单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增在区间(-∞,+∞)内单调递增在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递减在区间[0,+∞)内单调递增定点(1,1)

(2)幂函数y=xα的性质①所有的幂函数在区间(0,+∞)内都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都通过点(1,1).②如果α0,则幂函数的图象通过原点,且在区间[0,+∞)内是增函数.③如果α0,则幂函数在区间(0,+∞)内是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方且无限地逼近y轴;当x无限增大时,图象在x轴上方且无限地逼近x轴.

3.下列说法中,正确的是()A.幂函数y=x-1,y=x的图象都过点(0,0),(1,1)D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在其整个定义域上是减函数答案:C

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)二次函数都是幂函数.()(2)幂函数的图象恒过点(0,0)和(1,1).()(3)幂函数的图象都不过第四象限.()(4)幂函数都具有奇偶性.()××√×

合作探究释疑解惑

探究一幂函数的图象与性质【例1】幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则()A.-1n0m1B.n-1,0m1C.-1n0,m1D.n-1,m1解析:在区间(0,1)内取x0,作直线x=x0,与各图象有交点(图略),则“点低指数大”,则0m1,n-1.答案:B

反思感悟依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在区间(0,1)内,指数越大,幂函数图象越靠近x轴;在区间(1,+∞)内,指数越大,图象越远离x轴.

答案:B

探究二比较大小【例2】比较下列各题中两个值的大小:分析:利用函数的单调性,中间量或函数图象求解.

(3)因为y=x0.8是增函数,0.70.8,所以0.70.80.80.8.又因为y=0.8x是减函数,0.70.8,所以0.80.80.80.7.所以0.70.80.80.80.80.7,即0.70.80.80.7.

反思感悟利用幂函数的性质比较两个数大小的常用方法(1)若指数相同,底数不同,则直接利用幂函数的单调性来比较.(2)若底数相同,指数不同,则可利用指数函数的单调性比较大小.(3)若指数、底数都不同,则既要考虑幂函数,也要考虑指数函数,可寻找一个恰当的数作为中间值来比较大小.

A.acb B.abcC.cab D.bca答案:A

【易错辨析】因弄不清函数的单调性致误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

防范措施利用函数性质解决问题时,必须准确把握函数性质,求解问题时若需分类讨论,则应不重不漏.

随堂练习

1.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是()解析:A中定义域和值域都是R;B中定义域和值域都是(0,+∞);C中定义域和值域都是R;D中定义域为R,值域为[0,+∞).答案:D

答案:B

答案:1,3

本课结束