人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第3章 排列、组合与二项式定理 培优课1 基本计数原理.ppt

第三章培优课1基本计数原理

重难探究·能力素养速提升

探究点一组数问题【例1】用0,1,2,3,4五个数字:(1)可以排成多少个三个数字的密码?(2)可以排成多少个三位数?(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?

解(1)三个数字的密码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5×5×5=125个.(2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑百位的排法,除0外共有4种方法,十位、个位可以排0,因此,共有4×5×5=100个.(3)被2整除的数即偶数,个位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,第一类是个位数字是0,则有4×3=12种排法;第二类是个位数字不是0,则个位有2种排法,即2或4,再排百位,因为0不能在百位,所以有3种排法,十位有3种排法,所以有2×3×3=18种排法.因而有12+18=30种排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.

规律方法明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解.

变式训练1在300和800之间,有多少个没有重复数字的奇数?解一个三位奇数的个位上的数字必是奇数,且因为不允许有重复数字出现,当一个奇数(1,3,5,7,9)作为个位数时,它就不能作为百位数.所以符合条件的数可以按百位上的数字是奇数或偶数分成两类:第一类,百位上的数字是偶数,这样的三位数可以由以下三个步骤确定,第一步,百位上的数字从4和6中任选一个,有2种选法;第二步,个位上的数字从1,3,5,7,9中任选一个,有5种选法;

第三步,十位上的数字从余下的8个数字中任选一个,有8种选法.根据分步乘法计数原理,这一类奇数的个数为2×5×8=80.第二类,百位上的数字是奇数,这样的三位数可以由以下三个步骤确定,第一步,百位上的数字从3,5,7中任选一个,有3种选法;第二步,个位上的数字从余下的4个奇数中任选一个,有4种选法;第三步,十位上的数字从余下的8个数字中任选一个,有8种选法.根据分步乘法计数原理,这一类奇数的个数为3×4×8=96.根据分类加法计数原理,在300和800之间共有80+96=176个没有重复数字的奇数.

探究点二抽取与分配问题【例2】(1)高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践,其中甲工厂必须有班级去,每个班去哪一个工厂可自由选择,则不同的分配方案有()A.360种 B.420种 C.369种 D.396种C

解析(方法一直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为四类:第一类,四个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种情况;第二类,有三个班级去甲工厂,剩下的一个班级去另外四个工厂,其分配方案共有4×4=16种;第三类,有两个班级去甲工厂,另外两个班级去其他四个工厂,其分配方案共有6×4×4=96种;第四类,有一个班级去甲工厂,其他三个班级去另外四个工厂,其分配方案有4×4×4×4=256种.综上所述,不同的分配方案有1+16+96+256=369种.(方法二间接法)先计算四个班自由选择去何工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即5×5×5×5-4×4×4×4=369种方案.

(2)甲、乙、丙三人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己的贺卡,则不同取法的种数为.?2解析不妨由甲先来取,共2种取法,而甲取完后,剩下的两个人无论谁先取,每人都只有一种取法,所以不同的取法共有2×1×1=2种.

变式探究如果将本例(2)中“甲、乙、丙三人”改为“甲、乙、丙、丁四人”,则不同取法的种数为.?9解析不妨由甲先取,有3种选法,若选的乙制作的贺卡,则乙从剩下的3张贺卡中任选一张,也有3种选法,剩下的两人都只有一种选法,根据分步乘法计数原理知,共有3×3×1×1=9种不同的取法.

规律方法抽取与分配问题常见类型及解法

变式训练2(多选题)现有3名老师,8名男同学和5名女同学,共16人,有一项活动需派人参加,则下列说法中正确的是()A.只需1人参加,有16种选法B.若需老师、男同学、女同学各1人参加,则有120种选法C.若需1名老师和1名学生参加,则有39种选法D.若需3名老师和1名学生参加,则有56种选法ABC

解析选项A,分三类:选老师有3种选法,选男同学有8种选法,选女同学有5种选法,故共有3+8+5=16种选法,故A正确;选项B,分三步:第一步选老师,有3种选法;第二步选男同学,有8种选法;第三步选女同学,有5种选法,故共有3×8×5=120种选法,故B正确;选项C,分两步,第一步选老师,有3种选法;第二步选学生,第二步又分为两类,第一类选男同学,有8种