人教B版高中数学必修第三册精品课件 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2.4 第2课时 积化和差与和差化积公式.ppt

第2课时积化和差与和差化积公式第八章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.能根据公式Sα±β和Cα±β推导出积化和差与和差化积公式.2.了解三角变换在解决有关数学问题中所起的作用,进一步体会三角变换的特点.3.培养逻辑推理和数学运算素养.

自主预习新知导学

一、积化和差公式1.在公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ和sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ中,能否用sin(α+β)和sin(α-β)表示sinαcosβ,cosαsinβ?提示:能.将sinαcosβ和cosαsinβ看作未知数,解方程组可得.2.积化和差公式:

3.(1)sin15°sin105°=;?(2)cos10°cos30°cos50°cos70°=.?

二、和差化积公式1.借助于积化和差公式,我们可以把正弦、余弦的积的形式化为正弦或余弦的和或差的形式,那么已知正弦或余弦的和或差的形式,能否化为正弦或余弦的积的形式?提示:对于Acosx+Bcosy或Asinx+Bsiny,只要A=B,就可以化为积的形式.

2.和差化积公式:

3.求下列各式的值:(1)sin54°-sin18°;(2)cos146°+cos94°+2cos47°cos73°.

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB.()(2)sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB.()(3)cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB.()(4)cos(A+B)-cos(A-B)=2cosAcosB.()√√√×

合作探究释疑解惑

探究一求值问题【例1】求下列各式的值:(1)sin20°cos70°+sin10°sin50°;(2)sin20°sin40°sin60°sin80°.分析:利用和、积互化公式变形求解.

求解给角求值问题需正确地选用公式,相约(相消)去掉非特殊角的三角函数,从而化为特殊角的三角函数.

【变式训练1】求下列各式的值.(2)cos271°+cos71°cos49°+cos249°.

探究二化简问题【例2】化简:4sin(60°-θ)sinθsin(60°+θ).分析:需化简的式子是乘积的形式,可考虑应用积化和差公式,同时注意(60°-θ)+(60°+θ)=120°.解:原式=2sinθ[2sin(60°-θ)sin(60°+θ)]=-2sinθ[cos120°-cos(-2θ)]=sinθ+2sinθcos2θ=sinθ+(sin3θ-sinθ)=sin3θ.

化简:cos(270°+θ)cos(30°+θ)cos(30°-θ).解:原式=sinθsin(60°-θ)sin(60°+θ),结合例2知,结果为sin3θ.

用积化和差公式化简三角函数式时,若三角函数式中存在三个或三个以上的三角函数可供化和时,应选择两角和或差是特殊角或与其他三角函数有公因式的两个三角函数进行积化和差.

探究三三角恒等式的证明

1.证明三角恒等式就是借助于三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法,消除等式左右两边的差异.2.若所证等式同时含有三角形的三个内角,则应根据三角形内角和定理,从换去某角开始,到换回此角结束.

规范解答三角变换的综合应用【典例】已知f(x)=cos2(x+θ)-2cosθcosx·cos(x+θ)+cos2θ,求f(x)的最大值、最小值和最小正周期.审题策略:要求f(x)的最小正周期,则f(x)的表达式必须化为f(x)=Acos(ωx+φ)+B的形式.

答题模板:第1步,将次数高的三角函数降幂.第2步,和差化积、积化和差变换.第3步,将f(x)化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(或f(x)=Acos(ωx+φ)+B)型.第4步,求最大值、最小值和最小正周期.

1.变形化简错误,导致函数的解析式错误.2.公式应用错误.3.未化简到最简形式,错用有关的周期公式.

随堂练习

答案:C

答案:B

3.sin105°cos75°=.?

本课结束