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常微分方程第四章答案

【篇一：常微分方程习题及评分标准答案】

一、选择题（每题3分）第一章：

1．微分方程y?xy2?y?0的直线积分曲线为（）

（a）y?1和y?x?1（b）y?0和y?x?1（c）y?0和y?x?1（d）y?1和y?x?1第二章：

2．下列是一阶线性方程的是（）

（a）dydx?x2

?y（b）d2ydy3dx2?(dx

)?xy?0（c）(

dy2dydydx)?xdx?xy2?0（d）dx

?cosy3．下列是二阶线性方程的是（）

（a）d2ydy

dx2?x

dx?x2?y（b）(dydx)3?(dydx)2?xy?0（c）(x?1)dy2

d2ydx?xy?0（d）dx

2?cosycosx

4．下列方程是3阶方程的为（）

（a）y?x2?y3（b）(

dydx

)3

?xy?0（c）(dydx)2?xd3y

dydx

3?y2?0（d）dx?cosy35．微分方程(

dydx)4?x(dydx)3?dy

dx

?0的阶数为（）（a）1（b）2（c）3（d）4

6．方程(dydx)3?xd2y

dx

2?2y4?0的阶数为（）

（a）1（b）2（c）3（d）47．针对方程

dydx?x?y

x?y

，下列说法错误的是（）．（a）方程为齐次方程

1

（b）通过变量变换u?

y

x

可化为变量分离方程（c）方程有特解y?0

（d）可以找到方程形如y?

kx的特解y?(?1x8．针对方程y??sin2(x?y?1)，下列说法错误的是（）．

（a）为一阶线性方程

?

2

（d）方程的通解为tan(x?y?1)?x?c9．伯努利方程

dy

?p(x)y?q(x)yndx

，它有积分因子为（）（a）e?(n?1)p(x)dx（b）e?np(x)dx

（c）xe?(n?1)p(x)dx（d）xe?np(x)dx

10．针对方程

dy

dx

?y?y2(cosx?sinx)，下列说法错误的是（）．（a）方程为伯努利方程（b）通过变量变换z?y2可化为线性方程（c）方程有特解y?0（d）方程的通解为y?1

cex?sinx

11．方程

dydx?xf(y

x

2)经过变量变换（）可化为变量分离方程。（a）u?xy（b）u?y（c）u?y

2（d）u?x2xx

y

12．方程x2

dy

dx

?f(xy)经过变量变换（）可化为变量分离方程。（a）u?xy（b）u?yy

x（c）u?x

2（d）u?x2y

13．微分方程ylnydx?(x?lny)dy?0是（）

5

【篇二：【精选习题】第四章高阶微分方程】

4-1证明线性非齐次方程的叠加原理：设x1(t),x2(t)分别是线性非齐次方程

dxdt

nnn

?a1(t)

d

n?1

x

dtd

n?1

???an?1(t)

dxdtdxdt

?an(t)x?f1(t)

dxdt

n

n?1

?a1(t)

x

dt

n?1

???an?1(t)?an(t)x?f2(t)

的解，则x1(t)?x2(t)是方程

dxdt

nn

?a1(t)

d

n?1

x

dt

n?1

???an?1(t)

dxdt

?an(t)x?f1(t)?f2(t)（1）

的解。

证由题意，有

dxidt

nn

?a1(t)

d

n?1

xi

dt

n?1

???an?1(t)

dxidt

?an(t)xi?fi(t)

(i?1,2)，

把x1(t)?x2(t)代入方程（1）的左端得左端=

d(x1?x2)

dtdx1dt

nnn

n

n

?a1(t)

n?1

d

n?1

(x1?x2)dt

n?1

???an?1(t)

d(x1?x2)

dt

?an(t)(x1?x2)

?[

?a1(t)

d

x1

dtd

n?1

???an?1(t)

dx1dtdx2dt

?an(t)x1]?

[

dx2dt

n

n?1

?a1(t)

x2

dt

n?1

???an?1(t)?an(t)x2]

?f1(t)?f2(t)?右端。

评注：线性非齐次方程的叠加原理用于求线性非齐次方程的特解，特别对于右端函数可以分解为几个简单函数之和时更加有用。

4-2试验证方程

dxdtt

22

?

tdx

1?tdt

11?t

?

11?t

x?0有基本解组t,e，并求方程

t

dxdt

2

2

?

dx