备战2025高考数学一轮复习配套试题含答案（新高考版）.pdf

提能训练练案[58]

x2y2

1．已知双曲线C：－＝1(a0，b0)过点(22，1)，渐近线方程为y＝

a2b2

1

±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点．

2

(1)求双曲线C的方程；

(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．

[解析](1)由题设可知Error!解得Error!

x2

则C：－y2＝1.

4

(2)设点M的横坐标为xM0，

当直线l斜率不存在时，则直线l：x＝2，

易知点M到y轴的距离为xM＝2；

1

当直线l斜率存在时，设l：y＝kx＋mk≠±，A(x，y)，B(x，y)，

(2)1122

联立Error!

222

整理得(4k－1)x＋8kmx＋4m＋4＝0，

2222

Δ＝64km－16(4k－1)(m＋1)＝0，

22

整理得4k＝m＋1.

8km8km8k

则x＋x＝－＝－＝－，

12

4k2－1m2m

＋

x1x24k

则xM＝＝－0，即km0，

2m

16k24

则xM2＝＝4＋4，即xM2，

m2m2

∴此时点M到y轴的距离大于2；

综上所述，点M到y轴的最小距离为2.

x2

2．(2024·浙江名校协作体联盟联考)如图，已知双曲线C：－y2＝1，经

2

过点T(1,1)且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，与C的渐近线交于M，

2

N两点(从左至右的顺序依次为A，M，N，B)，其中k∈0，.

(2)

(1)若点T是MN的中点，求k的值；

(2)求△OBN面积的最小值．

[解析](1)解法一：设M(x，y)、N(x，y)，

1122

－＋

x1x2x1x2

由Error!得＝(y－y)(y＋y)，

1