人教B版高中数学必修第四册精品课件 第九章 解三角形 9.1.1 第1课时 正弦定理.ppt

9.1.1第1课时正弦定理第九章

内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.理解正弦定理及其相关变式的推导过程.2.能应用正弦定理解三角形.3.掌握三角形的面积公式.4.提升逻辑推理与数学运算素养.

自主预习新知导学

正弦定理提示:成立.

2.(1)正弦定理

(2)面积公式(3)解三角形三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素,已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形.

3.在一个三角形中,若只知道三个角,能解出这个三角形吗?提示:不能.

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)正弦定理适用于任何三角形.()(2)在△ABC中,等式bsinA=asinB一定成立.()(3)在△ABC中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.()(4)在△ABC中,若sinA=sinC,则△ABC必为等腰三角形.()(5)S△ABC=absinC=bcsinA.()√√√√×

合作探究释疑解惑

探究一已知三角形两角和任一边解三角形【例1】在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2,解此三角形.分析:利用A+B+C=180°及正弦定理求解.解:根据三角形内角和定理知C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°.

延伸探究本例变为:在△ABC中,已知A=45°,B=30°,c=+1,解此三角形.解:由已知可得C=180°-A-B=105°,

反思感悟已知两角与一边解三角形的步骤:(1)由三角形内角和定理求出第三个角;(2)由正弦定理求另外两边.

探究二已知三角形两边和其中一边的对角解三角形【例2】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知分析:(1)由正弦定理的特点直接求解,注意三角形解的个数问题.(2)先利用正弦定理求角B,再利用内角和定理求解,由正弦定理求边c.

(1)答案:45°∴B=45°或B=135°.∵ba,∴BA.∴B=45°.

已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求唯一锐角.(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求出两个角,并分类讨论.反思感悟

探究三判断三角形的形状【例3】在△ABC中,已知acosA=bcosB,试判断三角形的形状.分析:判断三角形形状通常从三角形内角关系入手,也可以从三角形三边关系入手.本题由条件式可考虑首先应用正弦定理把边化为角,寻找三角形角与角之间的关系,然后予以判定.

即sinAcosA=sinBcosB,则sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A=π-2B.因此△ABC是等腰三角形或直角三角形.

反思感悟判断三角形形状有两种思路(1)化边为角:①利用边角互化公式,将题目中的边化为角;②利用三角恒等变换整理得到内角关系;③结合三角函数单调性确定角的关系,进而确定三角形形状.(2)化角为边:①利用边角互化公式将题目中的角化为边;②利用分解因式、配方法等得到a,b,c的关系(如a=b,a2+b2=c2);③确定三角形形状.

【变式训练3】在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,∴A是直角,B+C=90°,∴2sinBcosC=2sinBcos(90°-B)=2sin2B=sinA=1,∵0°B90°,∴B=45°,C=45°,∴△ABC是等腰直角三角形.

∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,∴A是直角.∵A=180°-(B+C),sinA=2sinBcosC,∴sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,∴sin(B-C)=0.又-90°B-C90°,∴B-C=0°,∴B=C,∴△ABC是等腰直角三角形.

【思想方法】用分类讨论的方法解三角形【典例】在△ABC中,已知B=30°,b=,c=150,求a.

由正弦定理解三角形时,若求出某角的正弦值,则要讨论该角为锐角和钝角两种情况.有时也可以根据“大边对大角”确定角的值.方法点睛

【变式训练】在△ABC中,已知a=,b=2,A=30°,解此三角形.∵ab,∴BA=30°,∴B=45°或B=135°.当B=45°时,C=180°-(A+B)=1