人教B版高中数学必修第四册精品课件 第十一章 立体几何初步 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积.ppt

11.1.6祖暅原理与几何体的体积第十一章

内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.了解祖暅原理和柱体、锥体、台体、球的体积计算公式.2.能够运用体积计算公式求简单几何体及组合体的体积.3.体会数学抽象的过程,提升逻辑推理和数学运算素养.

自主预习新知导学

一、祖暅原理1.将一副扑克牌叠成长方体与摞成斜四棱柱,此两种摆放形式的扑克牌的体积有何关系?提示:相等.2.祖暅原理:幂势既同,则积不容异.这就是说,夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积一定相等.

3.下列结论是由祖暅原理得到的是()A.球的表面积S=4πR2B.存在一个正方体,其体积与已知球的体积相等C.底面和高对应相等的直四棱柱和圆柱,它们的体积相等D.圆柱的侧面积S侧=2πrl(r为底面圆的半径,l为母线长)答案:C

二、柱体、锥体、台体、球的体积1.长方体的体积V=Sh(S是底面积,h是高),若斜三棱柱的底面积为S,高为h,其体积V=Sh是否成立?提示:成立.2.(1)棱柱与圆柱统称为柱体;棱锥与圆锥统称为锥体;棱台与圆台统称为台体.由两个或两个以上的简单几何体(如柱体、锥体、台体、球)组合而成的几何体称为组合体.

(2)①柱体的体积由祖暅原理可知,等底面积、等高的两个柱体,体积相等.如果柱体的底面积为S,高为h,则柱体的体积计算公式为V柱体=Sh.②锥体的体积由祖暅原理可知,等底面积、等高的两个锥体,体积相等.

3.(1)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积为()A.15π B.30π C.12π D.36π(2)半径为3的球的体积是.?(3)若三棱柱的底面是边长为4的正三角形,三棱柱的高为5,则体积为.?

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的某个平面所截,如果截得的两个截面面积相等,那么这两个几何体的体积相等.()(2)锥体的体积只与底面积和高度有关,与其具体形状无关.()(3)由(锥体的底面积为S,高为h),可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面.()(4)若一个圆柱和一个六棱锥,它们的底面积相等、高相等,则圆柱的体积一定是六棱锥体积的3倍.()×√√√

合作探究释疑解惑

探究一柱体和锥体的体积【例1】在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=AD==1.如图,将梯形ABCD绕直线l旋转一周,求形成的曲面所围成的几何体的体积.分析:旋转形成的几何体是一个底面半径为2,高为1的圆柱挖去一个底面半径为1,高为1的圆锥.

解:延长AB交直线l于点O(图略),矩形AOCD绕直线l旋转一周形成圆柱,其中底面半径R=2,高H=1,则圆柱体积V=πR2H=4π.Rt△BOC绕直线l旋转一周形成圆锥,其中底面半径r=1,高h=1,

延伸探究将本例中的直角梯形绕CD所在直线旋转一周,求形成的曲面所围成的几何体的体积.解:由题意知,旋转形成的几何体是由底面半径都为1,高都为1的一个圆柱根据公式求柱体、锥体的体积,关键是求底面积.底面积的求解要根据平面图形的性质灵活处理,熟记常见平面图形面积的求法.反思感悟

【变式训练1】已知三角形ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.解:如图,由题易知旋转体是由底面重合的两个圆锥拼接而成.设上面圆锥的母线长为l1,下面圆锥的母线长为l2,重合底面的半径为r.

探究二台体的体积【例2】一个正四棱台的斜高为12cm,侧棱长为13cm,侧面积为720cm2,求它的体积.分析:先求出上、下底面边长(或面积)及棱台的高,再利用公式求体积.解:设该棱台的上、下底面边长分别为b和a,高为h,斜高为h,侧棱长为l,

已知h=12,l=13,S侧=720,

反思感悟在求台体的体积时,关键是分析题中给出的数据,要求解问题需要哪些数据,现在已知哪些数据,列出关系式后求出有关的量,再根据台体的体积计算公式进行运算、解答.

【变式训练2】已知圆台的上底面面积为16πcm2,下底面半径为6cm,母线长为10cm,求圆台的侧面积和体积.解:由题意知,圆台的上底面半径r=4cm,下底面半径r=6cm,母线长l=10cm,于是S圆台侧=π(r+r)l=100π(cm2).

探究三与球有关的表面积、体积问题【例3】一倒置圆锥的母线长为10cm,底面半径为6cm.(1)求圆锥的高;(2)一球刚好放进该圆锥中,求这个球的半径以