人教B版高中数学必修第一册精品课件 第2章 等式与不等式 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系.ppt

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系第二章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.掌握一元二次方程的解法.2.理解一元二次方程的根与系数的关系.3.提升逻辑推理和数学运算素养.

自主预习新知导学

一、用配方法解一元二次方程1.试用多种方法解方程:x2+5x+6=0.解:(1)因式分解法:由x2+5x+6=0,得(x+2)(x+3)=0,则x+2=0或x+3=0,解得x=-2或x=-3.解得x=-2或x=-3.

2.一般地,方程(x-k)2=t:(1)当t0时,解集为;(2)当t=0时,解集为{k};(3)当t0时,解集为?.

3.用配方法解下列方程:(1)2x2+4x-1=0;(2)x2-2x+5=0.

二、用公式法解一元二次方程1.是否任何一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)都可化为(x-k)2=t的形式?若能,写出k和t的表示(用a,b,c表示);若不能,请说明理由.

2.一般地,Δ=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式.(3)当Δ=b2-4ac0时,方程的解集为?.

3.用求根公式解下面的一元二次方程.(1)x2-x-4=0;(2)3x2-4x+3=0.解:(1)∵Δ=(-1)2-4×1×(-4)=17,(2)∵Δ=(-4)2-4×3×3=16-36=-200,∴原方程无解.故方程的解集为?.

三、一元二次方程根与系数的关系1.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R)的解是否一定是提示:当Δ=b2-4ac≥0时成立;当Δ0时不成立.2.当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R)有解时,其解是否由a,b,c唯一确定?提示:是.

3.设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1和x2,则此结论通常称为一元二次方程根与系数的关系.4.已知方程x2+6x+5=0的两根分别为x1和x2(x1x2),求x1-x2的值.解:由题意,得x1+x2=-6,x1x2=5.∵x1x2,

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)用配方法可以求解任何一元二次方程的解集.()(2)当b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为.()(3)对于方程ax2+bx=0(a≠0),根与系数的关系不成立.()√××

合作探究释疑解惑

探究一解一元二次方程【例1】解下列方程:(1)2x2+x-1=0;(2)3x2-7x+2=0;(3)x4-x2-12=0.分析:(1)(2)可利用因式分解法或求根公式法求解,(3)可应用换元法求解.

(3)令t=x2≥0,则t2-t-12=0,(t+3)(t-4)=0,解得t=-3(舍去)或t=4,即x2=4.解得x=±2.故方程的解集为{-2,2}.

利用公式法解一元二次方程的步骤(1)将方程化为标准形式:ax2+bx+c=0(a≠0).(2)确定a,b,c的值.(3)计算Δ=b2-4ac.(4)根据Δ的情况解方程.

【变式训练1】解下列方程:(1)x2+3x-4=0;(2)x2+2|x|-3=0.解:(1)由x2+3x-4=0,得(x+4)(x-1)=0,解得x=1或x=-4.故方程的解集为{-4,1},另解:∵a=1,b=3,c=-4,∴Δ=32-4×1×(-4)=25,故方程的解集为{-4,1}.

(2)x2+2|x|-3=0,即|x|2+2|x|-3=0,令t=|x|≥0,则t2+2t-3=0,即(t+3)(t-1)=0.解得t=1或t=-3(舍去),即|x|=1,解得x=1或x=-1.故原方程的解集为{-1,1}.

探究二一元二次方程根与系数的关系【例2】已知一元二次方程x2+mx-4=0(m∈R)的两根为x1,x2,若|x1-x2|=5,试求m的值.解:由题意,得x1+x2=-m,x1x2=-4.由|x1-x2|=5,得25=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,即25=(-m)2-4×(-4),解得m=±3.经检验,m=±3符合题意,故m=±3.

在本例中,求方程x2+mx-4=0(m∈R)的根.解:由例2知m=±3.当m=3时,方程x2+3x-4=0的两根为x1=1,x2=-4;当m=-3时,方程x2-3x-4=0的两根为x1=-1,x2=4.

利用一元二次方程根与系数的关系解题的关键是将问题转化为关于x1+x2和x1x2的问题.

【变式训练2】已知一元二次方程x2-3x-10=0的两根为x1,x2,求的值.解:由题意,得x1+x2=3,x