备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业七十四　正态分布.docx

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七十四正态分布

(时间:45分钟分值:80分)

【基础落实练】

1.(5分)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.84,则P(-1≤ξ≤0)等于()

A.0.34 B.0.68 C.0.15 D.0.07

【解析】选A.由题意得P(ξ1)=1-P(ξ≤1)=1-0.84=0.16,所以P(-1≤ξ≤0)=

12×(1-0.16×2)=0.34

2.(5分)(2023·贵州八校联考)设随机变量X~N(2,4),若P(Xa+2)=P(X2a-3),则实数a的值为()

A.1 B.53 C.5 D.

【解析】选B.因为P(Xa+2)=P(X2a-3),

所以由正态曲线的对称性知a+2+2a-32

3.(5分)若随机变量X服从正态分布N(5,1),则P(6≤X≤7)≈()

附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,

P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.

A.0.1359 B.0.3413

C.0.4472 D.1

【解析】选A.依题设,得P(4≤X≤6)≈0.6827,P(3≤X≤7)≈0.9545,

所以P(6≤X≤7)≈12×(0.9545-0.6827)=0.1359

【加练备选】

某天文馆开馆后的1个月内每天的游客人数X服从正态分布N(2000,4900),则在此期间的某一天,该馆的游客人数不超过2210的概率为()

(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)

A.0.99865 B.0.9973

C.0.9772 D.0.00135

【解析】选A.因为该天文馆开馆后1个月内每天的游客人数X服从正态分布

N(2000,4900),

所以P(1790≤X≤2210)=P(2000-3×70≤X≤2000+3×70)≈0.9973,所以P(X2210)

≈12×(1-0.9973)=0.00135,所以P(X≤2210)≈1-0.00135=0.99865

4.(5分)某校有1000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为(

A.150 B.200 C.300 D.400

【解析】选C.因为P(X90)=P(X120)=15

P(90≤X≤120)=1-15×2=35,所以P(90≤X≤105)=

所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×310=300

5.(5分)(2023·济南模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则μ=()

A.-12 B.0 C.12 D

【解析】选C.因为函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则f(-x)=f(x),所以P(-x≤ξ≤-x+1)=P(x≤ξ≤x+1),所以μ=-x+x

6.(5分)(多选题)(2024·北海模拟)已知变量X服从正态分布X~N0,σ2,当σ

A.P-1

B.P-1

C.正态分布曲线的最高点上移

D.正态分布曲线的最高点下移

【解析】选BD.当σ变大时,方差变大,数据离散程度变大,所以P-12

7.(5分)(2023·深圳模拟)若X~N9,22,则P(7X13)=________(精确到0

参考数据:若X~Nμ,σ2,则X-μσ≈0.

【解析】因为X~N(9,22),根据参考数据,

P(7X13)=P(μ-σXμ+2σ)=12×0.682

答案:0.82

8.(5分)某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________.?

【解析】由题意知P(ξ≥2)=0.8,P(ξ≥6)=0.2,所以P(ξ2)=P(ξ≥6)=0.2.所以正态曲线的对称轴为直线x=4,即P(ξ≥4)=12,即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为12,所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为12×1

答案:1

9.(10分)已知随机变量X~N(μ,σ2),且正态密度函数在