《离散数学及其应用》汪荣贵等编-这本书的习题答案或提示.docx

《离散数学及其应用》（汪荣贵等编）习题答案或提示（初稿）

第一章集合与计数基础

1.列出下列集合的所有元素：

（1）大于0且小于20的素数组成的集合；

（2）{(x,y

（3）大于10且小于30的偶数组成的集合。

【解】(1){1,

(2){(0,5),(1,4),(2,3)};

(3){12,14,16,18,20,22,24,26,28}

2.设E是某高中一年级学生集合，A,B是E的子集且A={x|x是男生}，B={x|x是校足球队队员}

【解】A∪B={x|x是高一全体男生和校足球队高一女队员}

A∩B={x|x是足球队高一男队员}

A-B

B-A

A⊕B={x

A={x

B={

3.判断下面每组的两个集合是否相等：

(1)A=3,1,1,5,5,B={1,3,5}；

(3)A=?,B={x|x是有理数并且是无理数

【解】（1）相等 （2）不相等 （3）相等 （4）不相等

4.求下列集合的幂集。

(1){1,2,3}； (2){?,{?}}； (3){?,a,{a}}； (4){1,2,3,4}。

【解】(1){

(2){?,

(3){?,

(4){?,

5.设集合E={1,2,3,4,5}，A={1,5}，B={2,3,5}，C={2,4}，求下列集合

(1)A∩B；(2)(A∪B)-C；(3)PA-

【解】

(1)A∩B={1} (2)

(3)PA－PC={{1},{5},{1,5}}

6.化简下列集合：

（1）{2,3}∪{{2},{3}}∪{2,{3}}∪{{2},3}；

（2）((A∪B∪C)∩(A∪B))-((A∪(B

【解】(1){2,3,2,{3}} (

7.求下列集合的基数和每个集合的幂集。

(1){1,2,3}；(2){1,{2,3}}；(3){{1,{2,3}}}；(4){{?,2},{2}}。

【解】(1)基数为3{?,1

(2)基数为2{?,1

(3)基数为1{?,{1,{2,3}}}

(4)基数为2{?,?,2

8.试证明下面公式:

(1)A∩?=?;(2)A∩A=A;(3)A∩(A∪B)=A。

【解】(1)∵??A ∴

(2)∵A?A ∴A∩A=A

(3)∵A?A∪B

9.设A和B是任意集合，试问:

(1)若A-B=B，则A和

(2)若A-B=B-A，则A

【解】(1)A=B=? (2)

10.设A和B为任意集合，证明：A⊕B=

【解】A⊕B=

=

=

=A∪

=A∪

=(A∪B)-

11.证明下列等式：

(1)(A∪B)∩(A∪C)=(A∩C)∪(

(2)(A∪B)∩(A∪C)=A∪(B∩C)。

【解】

(1)对于任意的元素x∈(A∪B)∩(A∪C)，有x∈A或B且x?

对于x∈A，有x∈A且x∈C。对于x∈B，有x∈B且x?

x∈(A∩C)∪(

故有：(A∪B)∩(

可类似证明：(A∩C)∪(

故有：(A∪B)∩(

(2)对于任意的元素x∈(A∪B)∩(A∪C)，则有：x∈A∪B并且x∈A∪C。

对于x∈A∪B，则有：x∈A或者x∈B。对于x∈A∪C，则有：x∈A或者x∈C。

故有：x∈A或者x∈B并且x∈A或者x∈C。即有：x∈A∪(B∩C)

故有：(A∪B)∩(A∪C)?A∪(B∩C)。

可类似证明：A∪(B∩C)?(A∪B)∩(A∪C)

故有：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

12.简要说明{2}与{{2}}的区别，列出它们的元素与子集。

【解】{2}和{{2}}都是1元集合，但是其中的元素不同。{2}中元素为2，而{{2}}中元素为{2}。{2}的子集为?和{2}，{{2}}的子集为?和{{2}}。

13.假设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},使用比特串表示下面的集合。

(1){2,3,4}; (2){1,4,8,9}； (3){2,4,6,8,9}

【解】(1){2,3,4}表示为0111000000。

(2){1,4,8,9}表示为1001000110。

(3){2,4,6,8,9}表示为0101010110。

14.证明{{a},{a,b}}={{c},{c,d}}当且仅当a=c,b=d，其中a,b,c,d是任意给定。

【解】充分性：a=c,b=d，显然可以得出{{a},{a,b}}={{c},{c,d

必要性：两集合相等可得出集合的子集都相同，{{a},{a,b}}的子集为?，{{a}},{{a,b}},{{a},{a,b}}。{{c},{c,d}}的子集为?,{{c}},{{c,d}},{{c},{c,d}}。{{a}}={{c}}可以得出a=c，同理，得出b