备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业四十三　空间点、直线、平面之间的位置关系.docx

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四十三空间点、直线、平面之间的位置关系

(时间:45分钟分值:85分)

【基础落实练】

1.(5分)(多选题)下列命题中正确的是()

A.梯形的四个顶点共面

B.两条平行直线确定一个平面

C.空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等

D.四边形确定一个平面

【解析】选AB.显然选项A正确;

对于选项B,两条平行直线确定唯一一个平面,故选项B正确;

对于选项C,由空间角的等角定理知,空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故选项C错误;

对于选项D,因为空间四边形不在一个平面内,故选项D错误.

2.(5分)已知两条不同的直线a,b及两个不同的平面α,β,下列说法正确的是()

A.若α∥β,a?α,b?β,则a∥b

B.若α∥β,a?α,b?β,则a与b是异面直线

C.若α∥β,a?α,b?β,则a与b平行或异面

D.若α∩β=b,a?α,则a与β一定相交

【解析】选C.若α∥β,a?α,b?β,则直线a,b没有交点,故a与b平行或异面,故A,B错误,C正确;若α∩β=b,a?α,当a∥b时,a与β平行,故D错误.

3.(5分)(2023·南京模拟)如图所示,在正方体ABCD??A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是CC1的中点,N是C1D1的中点,则下列说法正确的是()

A.ON=BM,且直线ON,BM是异面直线

B.ON=BM,且直线ON,BM是相交直线

C.ON≠BM,且直线ON,BM是异面直线

D.ON≠BM,且直线ON,BM是相交直线

【解析】选A.根据题意,设正方体ABCD??A1B1C1D1的棱长为2a,取BC的中点P,连接C1P,OP,

由于OP∥NC1且OP=NC1,则四边形OPC1N是平行四边形,则有ON∥PC1且ON=PC1,在四边形BCC1B1中,边长为2a,P为BC的中点,M是CC1的中点,BM与PC1相交且BM=PC1=4a2+a2=5a,故ON=BM,且直线

4.(5分)如图,在三棱锥D??ABC中,AC⊥BD,一平面截三棱锥D??ABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF=2,EH=5,则异面直线EG和AC所成角的正弦值是()

A.147 B.77 C.357

【解析】选A.由题意知EH∥FG,又FG?平面ADC,EH?平面ADC,所以EH∥平面ACD,所以EH∥AC,同理HG∥BD,因为AC⊥BD,

所以EH⊥HG,记EG与AC所成角∠GEH为θ,

则sinθ=HGEG=HGHG2+

【加练备选】

如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为BC的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为()

A.33 B.55 C.306

【解析】选D.由题意可知AD∥BC,所以∠EAD即为异面直线AE与BC所成的角,设圆柱上、下底面圆心为O,O1,连接OE,OA,ED,不妨设正方形ABCD的边长为2,则AO=5,

从而AE=ED=6,则cos∠EAD=16=6

即AE与BC所成角的余弦值为66

5.(5分)在棱长均相等的四面体OABC中,M,N分别是棱OA,BC的中点,则异面直线MN与AB所成角的大小为()

A.30° B.45° C.60° D.90°

【解析】选B.取OB的中点P,AB的中点Q,连接MP,PN,CQ,OQ,由中位线定理可知MP∥AB,

则∠PMN(或补角)为异面直线MN与AB所成角,MP∥AB,PN∥OC,OQ⊥AB,CQ⊥AB,且CQ∩OQ=Q,所以AB⊥平面OCQ,则AB⊥OC,所以PM⊥PN,四面体OABC棱长均相等,则PM=PN,所以△MPN为等腰直角三角形,所以∠PMN=45°.

6.(5分)(多选题)(2023·杭州模拟)如图所示,在正方体ABCD??A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是()

A.C1,M,O三点共线

B.C1,M,O,C四点共面

C.C1,O,A,M四点共面

D.D1,D,O,M四点共面

【解析】选ABC.在正方体ABCD??A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,

在选项A中,因为直线A1C交平面C1BD于点M,

所以M∈平面C1BD,M∈直线A1C,

又A1C?平面ACC1A1,所以M∈平面ACC1A1,

因为O为DB的中点,BD?平面C1BD,

所以O∈平面C1BD,且O∈平面ACC1A1,

又C1∈平面C1BD,且C1∈平面ACC1A1,

所以C1,M,O三点共线,故选项A正确;

在选项B中,因为C