人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.1.1 第1课时 空间向量的概念与运算.ppt

第1课时空间向量的概念与运算第一章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.通过类比平面向量,掌握空间向量的有关概念.2.掌握空间向量的加法、减法与数乘运算.3.重点提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养.

自主预习新知导学

一、空间向量的概念1.在一个平面上,若两个非零向量a,b的方向相同,则a∥b.将此命题中的“在一个平面上”改为“在空间中”,命题是否仍成立?提示:成立.2.将平面向量的有关概念与约定推广到空间中,是否仍成立?提示:成立.3.(1)空间中既有大小又有方向的量称为空间向量(简称为向量);(2)大小相等、方向相同的向量称为相等的向量;(3)方向相同或者相反的两个非零向量互相平行;(4)一般地,空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在同一平面内,则称这些向量共面;否则,称这些向量不共面.

4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=3,AA1=4,AB=5.在长方体的所有棱对应的向量中,

二、空间向量的加法运算1.平面向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边形法则对于空间向量是否适用?提示:适用.

2.空间向量的加法运算.①三角形法则当平面向量a与b不共线时,a,b,a+b正好能构成一个三角形,如图所示,因此这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.

②平行四边形法则③向量加法的运算律对于任意的向量a,b,c,都有交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

3.为了得到有限个空间向量的和,只需将这些空间向量依次首尾相接,那么以第一个向量的始点为始点,最后一个向量的终点为终点的向量,就是这些向量的和向量.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简下列向量的表达式.

三、空间向量的线性运算1.已知a是空间中的一非零向量,则λa(λ∈R)的方向与a的方向有何关系?提示:当λ0时,λa与a的方向相同;当λ=0时,λa的方向是任意的;当λ0时,λa与a的方向相反.

2.(1)向量减法的三角形法则

(2)相反向量

(3)数乘向量①同平面中的情形一样,给定一个实数λ与任意一个空间向量a,规定它们的乘积是一个空间向量,记作λa,其中:当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向:当λ0时,与a的方向相同;当λ0时,与a的方向相反.当λ=0或a=0时,λa=0.②空间向量的数乘运算满足如下运算律:对于实数λ与μ,向量a与b有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.③若存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.

3.已知λ∈R,a≠0,则下列结论正确的是()A.λa与a同向 B.|λa|=λ|a|C.λa可能为0 D.|λa|=|λ|a答案:C

【思考辨析】判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若a∥b,则a与b同向.()(2)?λ∈R,使λa=0.()(5)空间向量只有大小,没有方向.()×√√√×

合作探究释疑解惑

探究一空间向量的概念【例1】给出下列命题:①若将空间中所有单位向量的始点移到同一个点,则它们的终点构成一个圆;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中假命题有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案:C

解决向量概念问题应把握的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主要要素,即大小与方向,两者缺一不可.(2)两个关系①模相等与向量相等的关系:若两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件.②向量的模与向量大小的关系:由于方向不能比较大小,因此“大于”“等于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量的模是可以比较大小的.

【变式训练1】如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中,

探究二空间向量的加法、减法运算【例2】如图,已知长方体ABCD-ABCD,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.

化简向量表达式时主要利用平行四边形法则、三角形法则和多边形法则.而三角形法则和平行四边形法则更方便应用.

【变式训练2】(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为向量的是()

答案:ABCD

探究三空间向量的数乘运算【例3】如图,设A是△BCD所在平面外的一点,G是△BCD的重心.求证:

在本例中,若F是△ACD的重心,请表示出的关系.解:如图,连接AF,并