人教B版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第三章 函数 培优课 函数单调性与奇偶性的综合应用.ppt

培优课函数单调性与奇偶性的综合应用第三章

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

课标要求1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法.2.理解并运用函数的单调性与奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题.

基础落实?必备知识全过关

知识点函数的单调性与奇偶性(1)函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间上的概念,因此在判定函数的单调性的时候,一定要指出函数的单调区间.(2)在定义域关于原点对称的前提下,f(x)=x2n-1(n∈Z)型函数都是奇函数;f(x)=x2n(n∈Z)型函数及常数函数都是偶函数.(3)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,则它们在公共定义域上,满足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶.

(4)若f(x)为奇函数,且在区间[a,b](ab)上是增(减)函数,则f(x)在区间[-b,-a]上是增(减)函数;若f(x)为偶函数,且在区间[a,b](ab)上是增(减)函数,则f(x)在区间[-b,-a]上是减(增)函数,即奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;而偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.(5)若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).

过关自诊1.若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,则f(x)()A.在区间[1,7]上是增函数 B.在区间[-7,2]上是增函数C.在区间[-5,-3]上是增函数 D.在区间[-3,3]上是增函数答案C解析因为函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,所以m=1.所以f(x)=-x2+2,结合函数f(x)的单调性可知选C.

2.若奇函数f(x)满足f(3)f(1),则下列各式中一定成立的是()A.f(-1)f(-3)B.f(0)f(1)C.f(-2)f(3) D.f(-3)f(5)答案A解析因为f(x)是奇函数,所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).又f(3)f(1),所以-f(-3)-f(-1),所以f(-3)f(-1).

3.定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为.?答案f(3)f(-2)f(1)解析由已知条件可知f(x)在[0,+∞)内单调递减,故f(3)f(2)f(1).再由偶函数性质得f(2)=f(-2),所以f(3)f(-2)f(1).

重难探究?能力素养全提升

探究点一利用函数的奇偶性求解析式【例1】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=-2x2+3x+1,求:(1)f(0);(2)当x0时,f(x)的解析式;(3)f(x)在R上的解析式.分析(1)利用奇函数的定义求f(0);

解(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0.(2)当x0时,-x0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x0.

规律方法利用函数奇偶性求解析式的注意事项1.在哪个区间求解析式,就把“x”设在哪个区间;2.利用已知区间的解析式进行代入;3.利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x);4.定义域为R的奇函数满足f(0)=0.

变式探究本例中若把“奇函数”换成“偶函数”,求x0时f(x)的解析式.解设x0,则-x0,∴f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).∴f(x)=-2x2-3x+1,x0.

探究点二应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小【例2】设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是()A.f(π)f(-3)f(-2)B.f(π)f(-2)f(-3)C.f(π)f(-3)f(-2)D.f(π)f(-2)f(-3)

答案A解析∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).而23π,且f(x)在[0,+∞)内为增函数,∴f(2)f(3)f(π).∴f(-2)f(-3)f(π).故选A.规律方法利用函数性质比较大小的常用方法在应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区