人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.2.4 二面角.ppt

1.2.4二面角第一章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.了解二面角及其平面角的概念.2.掌握求二面角的两种方法:几何法和向量法.3.重点提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养.

自主预习新知导学

一、二面角及其度量1.将课本的封面绕书脊旋转少许与将封面掀开并展开其状态不一样,可如何刻画掀开封面的不同状态?提示:可用旋转的角度.2.(1)二面角的定义平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.

(2)二面角的表示如图,在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角.二面角的范围是[0,π].

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-C1D1-C的平面角是()A.∠AD1D B.∠AD1CC.∠AC1C D.∠D1C1C答案:A

二、用平面的法向量求二面角1.已知二面角的两个半平面的法向量分别为n1,n2,则二面角的大小与n1,n2一定相等吗?提示:不一定.二面角的大小与n1,n2相等或互补.2.如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则θ=n1,n2或π-n1,n2,特别地,sinθ=sinn1,n2.

3.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面α,β的两个法向量,则锐二面角α-l-β的大小是()A.45° B.90° C.60° D.120°解析:设锐二面角α-l-β的大小是θ,答案:C

【思考辨析】判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)二面角的取值范围是.()(2)若平面α,β的法向量分别为n1,n2,则n1,n2等于二面角的大小.()(3)平面角是直角的二面角叫直二面角.()(4)任何一个二面角都有很多平面角.()××√√

合作探究释疑解惑

探究一利用定义法求二面角【例1】如图,在正三棱锥S-ABC中,底面边长为3,棱锥的一个侧面的面积是底面积的,M是BC的中点,求二面角S-BC-A的大小.分析:根据几何图形的结构特点,先作出二面角的平面角,再通过解三角形求出角的大小.

解:如图,连接SM,AM,∵S-ABC为正三棱锥,∴SB=SC,AB=AC,又M为BC的中点.∴SM⊥BC,AM⊥BC.∴∠SMA为所求的二面角S-BC-A的一个平面角.

当两个平面所在的图形是以棱为公共边的等腰三角形或全等多边形时,应首选利用定义求二面角的平面角,分三步,即一作(找),二证,三求.

【变式训练1】如图,在四面体PABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=AC=PC,求二面角B-AP-C的大小.

解:如图,过点B作BM⊥AC交AC于点M,过点M作MN⊥AP交AP于点N,连接BN,由三垂线定理知BN⊥PA.∴∠MNB为所求二面角的平面角.设AB=BC=AC=PC=1,

探究二利用向量法求二面角【例2】在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折起,使D在平面ABC上的射影E恰好落在AB上(如图),求二面角B-AC-D的余弦值.

解:如图,作DG⊥AC交AC于点G,BH⊥AC交AC于点H.

分别在二面角α-l-β的平面α,β内,沿α,β延伸的方向作向量n1⊥l,n2⊥l,则可用n1,n2度量这个二面角的大小,cosn1,n2=.

【变式训练2】如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,求二面角A1-BD-C1的余弦值.

解:取DB的中点F,DC1的中点M,连接A1F,FM,以D为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.设DA=a,由题意知,D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,2a),A1(a,0,2a),D1(0,0,2a),,M(0,a,a).

探究三利用法向量法求二面角【例3】已知PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=,求二面角A-PB-C的余弦值.分析:当二面角的平面角不易作出,空间直角坐标系又易建立时,可考虑法向量法求二面角大小.

在本例中,求二面角A-PC-B的大小.解:由例3的解法知n=(0,-1,-1)是平面PBC的一个法向量