备战2025年高考数学一轮复习(优化探究新高考版基础版)第十章　计算原理、概率、随机变量及其分布.pdf

第一节两个基本计数原理

[学习要求]1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其意义.2.会用分类计数原理和分步

计数原理分析和解决一些简单的实际问题.

[知识梳理]

知识点两个基本计数原理

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同

的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成

这件事共有N＝m×n种不同的方法.

[小题诊断]

1.中国人民解放军东部战区领导和指挥江苏、浙江、上海、安徽、福建、江西的武装力量.某日东

部战区下达命令，要求从江西或福建派出一架侦察机对台海空域进行侦查，已知江西有m架侦察

机，福建有n架侦察机，则不同的分派方案共有（）

A.()种B.mn种

＋

C.m种D.n种

答案：A

解析：根据题意，由分类加法计数原理，不同的分派方案共有（m＋n）种.

2.由于用具简单、趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示，若不

考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走

一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，其中也能把“炮”吃掉的可能路线

有（）

A.10条B.8条C.6条D.4条

答案：C

解析：由题意可知，“兵”吃掉“马”的最短路线需横走三步，竖走两步；

其中也能把“炮”吃掉的路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有3种走法；第二步，

横走一步，竖走一步，有2种走法.

所以所求路线共有3×2＝6（条）.

3.（易错题）如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，

从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有条不同的路线.

答案：32

考点一分类加法计数原理

[1]（2024·江苏扬州模拟）某人从一层上到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称

为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他

总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（）

A.10种B.9种

C.8种D.12种

[答案]A

[解析]按题意要求，不难验证这6步中不可能没有三阶步，也不可能有多于1个的三阶步.

因此，只能是1个三阶步，2个二阶步，3个一阶步.

为形象起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10级台阶的过程：

白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步，

每一过程可表为3个白球、2个黑球、1个红球的一种同色球不相邻的排列.

下面分三种情形讨论.

（1）第1、第6球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧，

此时，共有4个黑白球之间的空位放置红球，所以此种情况共有4种可能的不同排列；

（2）第1球不是白球.

（ⅰ）第1球为红球，则余下5球只有一种可能的排列；

（ⅱ）若第1球为黑球，则余下5球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，此种情形共有3种

不同排列；

（3）第6球不是白球，同（2），共有3种不同排列.

总之，按题意要求从一层到二层共有4＋3＋3＝10种可能的不同过程.

学生用书⬇第218页

❙方法总结❙

运用分类加法计数原理的两个注意点

1.根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.

2.分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.

1.如图，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能取其中一堆最上

面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（）

A.6