人教B版高中同步学考数学必修1精品课件 第二章 等式与不等式 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用.ppt

第二章2.2.4第2课时均值不等式的应用

课程标准1.掌握均值不等式的应用技巧.2.能够利用均值不等式解决实际问题.

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基础落实·必备知识全过关

知识点均值不等式如果a,b都是正数,那么,当且仅当a=b时,等号成立.过关自诊均值不等式应用的条件是什么?提示一正二定三相等,即:①a,b均为正数;②a+b和ab中有一个为定值;③不等式中的等号必须能取到.

重难探究·能力素养全提升

探究点一“常数代换法”求最值【例1】(1)已知正数a,b满足a+b=1,则的最小值为.?4

(2)[2023福建泉州高二校考]已知正数a,b满足a+2b=2,则的最小值为.?

C

变式探究将本例(1)反过来,已知正数a,b,且=4,则a+b的最小值为.?规律方法在利用均值不等式求最值时,常用的技巧就是“1”的代换,其目的是借助“1”将所求式子的结构进行调整,优化到能够利用均值不等式为止.1

变式训练1若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()C

探究点二“减元法”求最值规律方法在解含有两个以上变元的最值问题时,通过代换的方法减少变元,把问题化为两个或一个变元的问题,再使用均值不等式求解.8

变式训练2[2023山东青岛高一校考阶段练习]已知x0,y0,x2+2xy-1=0,则3x+2y的最小值是()D

探究点三均值不等式的实际应用【例3】[北师大版教材例题]动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.(接头处不计)(1)现有可围36m长钢筋网的材料,当每间禽舍的长、宽各设计为多少时,可使每间禽舍的面积最大?(2)若使每间禽舍的面积为24m2,则每间禽舍的长、宽各设计为多少时,可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小?

解(1)设每间禽舍的长为xm,宽为ym,则4x+6y=36,即2x+3y=18.因此,当每间禽舍的长、宽分别设计为4.5m和3m时,可使每间禽舍的面积最大,最大面积为13.5m2.

规律方法应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法:(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数.(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.(3)在题目要求的范围内,求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.

变式训练3沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效.通过利用沼气带来的农村“厕所革命”,对改善农村居住环境等方面,起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的号召,某农户准备建造一个深为2米,容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3000元,问怎样设计沼气池才能使总造价最低?最低总造价是多少元?

解设沼气池的底面长为x米,沼气池的总造价为y元,因为沼气池的深为2米,容积为32立方米,所以底面积为16平方米,因为底面长为x米,所以底面时,等号成立.所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时,沼气池的总造价最低,最低总造价是9240元.

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1234C

12342.若a0,b0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是()D

12343.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是.?25m2

1234解因为a+b=4,所以(a+1)+(b+3)=8,

本课结束