第八章　第八节　利用空间向量研究夹角问题.docx

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第八节利用空间向量研究夹角问题

【课标解读】

【课程标准】

能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.

【核心素养】

直观想象、数学运算、逻辑推理.

【命题说明】

考向

考法

高考题常以求线面角、二面角为载体,考查空间向量的应用.与二面角相关的问题是高考的热点,主要出现在解答题中.

预测

2025年高考本节内容仍会与立体几何知识结合考查,试题难度中档.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.异面直线所成角

设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则

项目

a与b的夹角β

l1与l2所成的角θ

范围

(0,π)?

?(0,π2]

求法

cosβ=a·

cosθ=|cosβ|=|

微点拨异面直线方向向量夹角的余弦值可能为负值,异面直线所成角的余弦值一定为非负值.

2.直线与平面所成的角

(1)范围:?[0,π2]

(2)向量求法:设直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,直线AB与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cosu,n|=?|u·

微点拨不平行于平面的直线与平面所成的角为锐角或直角,其正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值.

3.平面与平面的夹角

(1)定义:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角;

(2)求法:设n1,n2分别是两平面α,β的法向量,α,β的夹角为θ,则cosθ=|cosn1,n2|=|n

4.二面角的大小

(1)如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=AB,CD.?

(2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|=|cosn1,n2|.?

微点拨在空间几何体的直观图中,有时不容易直观确定二面角的大小,若条件中未明确给出,一般以锐二面角为主.

基础诊断·自测

类型

辨析

改编

易错

题号

1

2,3

4

1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()

(3)两异面直线所成角的范围是0,π2,直线与平面所成角的范围是0,

(4)直线的方向向量为u,平面的法向量为n,则线面角θ满足sinθ=cosu,n

提示:直线的方向向量、平面的法向量之间所成的角不一定就是相应的线线角、线面角,故(1)(2)错误;(3)(4)正确.

答案:(1)×(2)×(3)√(4)√

2.(选择性必修一P38练习T4·变形式)已知直线l1的方向向量s1=(1,0,1)与直线l2的方向向量s2=(-1,2,-2),则直线l1和l2所成角的余弦值为()

A.24 B.12 C.22

【解析】选C.因为s1=(1,0,1),s2=(-1,2,-2),

所以coss1,s2=s1·s2|

所以直线l1和l2所成角的余弦值为22

3.(选择性必修一P37例8变形式)平面α的一个法向量为m=(1,2,-2),平面β的一个法向量为n=(2,2,1),则平面α与平面β夹角的正切值为()

A.49 B.94 C.465

【解析】选D.设平面α与平面β的夹角为θ0≤θ

则cosθ=|cosm,n|=|m·n

则sinθ=1-cos2θ

所以tanθ=65949

4.(漏情况)在一个二面角的两个半平面上,与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为()

A.156 B.-

C.153 D.156

【解析】选D.因为在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则(0,-1

所以这个二面角的余弦值为156或-15

【核心考点·分类突破】

考点一异面直线所成的角

[例1](1)如图,已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形,AB是底面圆O的直径,点D在AB上,且∠AOD=2∠BOD,则异面直线AD与BC所成角的余弦值为()

A.34 B.12 C.14

【解析】选A.因为∠AOD=2∠BOD,

且∠AOD+∠BOD=π,所以∠BOD=π3

连接CO,则CO⊥平面ABD,以点O为坐标原点,OB,OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设圆O的半径为2,

则A(0,-2,0)