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湖南省长沙市2025届高三六校九月大联考
数学
本试卷共4页,19小题,满分150分.
一、单选题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合,,若,则集合()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将代入方程求出,再求集合即可.
【详解】由可知,
当时,,解得:或,即.
故选:B
2.若复数满足,则()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数乘除法运算直接计算即可.
【详解】因为,所以.
故选:C.
3.等差数列中,,则()
A.40 B.30 C.20 D.10
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件,结合等差数列的性质,即可求解.
【详解】设等差数列的公差为,
,则,
,则,解得,,
.
故选:B.
4.已知,则()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】切化弦,通分即可求解.
【详解】因为,因为,所以.
故选:A.
5.如图所示,六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置,而硫原子处于中心位置的正八面体,也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点.若正八面体的表面积为,则正八面体外接球的体积为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径,进而由球的体积公式即得体积.
【详解】如图正八面体,连接和交于点,
因为,,
所以,,又和为平面内相交直线,
所以平面,所以为正八面体的中心,
设正八面体的外接球的半径为,因为正八面体的表面积为8×34AB
所以EB=EC=BC=6
则R=3
故选:B.
6.已知函数,且,则的大小关系()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断函数在上单调性,再比较大小.
【详解】,当时,,
所以在单调递增,
因为,所以,即.
故选:D
7.当时,曲线与交点的个数为()
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】D
【解析】
【分析】分别画出与在上的函数图象,根据图象判断即可.
【详解】与在上的函数图象如图所示,
由图象可知,两个函数图象交点的个数为6个.
故选:D.
8.已知的定义域为,且,则()
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意,利用赋值法,求得,得到的一个周期是,再根据函数的周期性和奇偶性,求得的值,进而得到答案.
【详解】由题意知,函数的定义域为,且,
令,得,所以;
令,得,所以,所以偶函数,
令,得①,所以②,
由①②知,所以,
所以,所以的一个周期是,
由②得,所以,同理,所以,
又由周期性和偶函数可得:
所以,
所以.
故选:B.
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,至少有两项是符合题目要求,若全部选对得6分,部分选对得部分分,选错或不选得0分)
9.某校高三年级选考地理科的学生有100名,现将他们该科的一次考试分数转换为等级分,已知等级分X的分数转换区间为,若等级分,则()
参考数据:;;
A.这次考试等级分的标准差为5
B.这次考试等级分超过80分的约有45人
C.这次考试等级分在内的人数约为48人
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据的含义易判断A,B两项,对于C,D,先把范围转换成用表示,利用概率值求出相应范围的概率值,再进行估算即可.
【详解】对于A,因,则,故A正确;
对于B,因,即这次考试等级分超过80分的学生约占一半,故B错误;
对于C,因,
故这次考试等级分在内的人数约为人,故C正确;
对于D,因
,
故D正确.
故选:ACD.
10.中国结是一种手工编织工艺品,因为其外观对称精致,可以代表汉族悠久的历史,符合中国传统装饰的习俗和审美观念,故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面,也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线,却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线是双纽线,则下列结论正确的是()
A.曲线的图象关于对称
B.曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3
C.曲线经过7个整点(横、纵坐标均为整数的点)
D.若直线与曲线只有一个交点,则实数的取值范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A项,运用若点关于对称的点满足方程,则曲线的图象关于对称,检验即可;对于B项,根据已知条件可得即可;对于C项,计算边界点来界定整数点个数;对于D项,联立直线方程与双纽线方程,将问题转化为方程只有一解即可.
【详解
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