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新高考中的概率统计模型问题分析

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[摘要]数学建模是高中新课程标准提出的六大数学核心素养之一，近几年高考试题非常重视学生对实际问题的建模意识和能力的考查.本文以近几年部分高考题为例，对所涉及的各种概率统计模型进行研究分析.

[关键词]概率统计模型；数学建模；分析

《普通高中数学课程标准》（2017版）提出，要通过数学学习，培养学生的六大核心素养，其中数学建模能力就是六大数学核心素养之一.近几年的新课标高考概率统计问题常常以生产、生活、经济、社会热点、古今中外历史文化等为背景设置试题，特别重视实际建模能力，接下来，以近几年高考中的部分概率统计模型为例进行分析.

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古典概率模型.

【例1】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A.B.C.D.

【解析】不超过30的素数有共10个，随机选取两个不同的数，共有45种情形，因为符合条件的只有3种，故概率为1/15.选C

2.几何概率模型.

【例2】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则

A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3

解析：设，则有，从而可以求得的面积为，黑色部分的面积为，其余部分的面积为，所以有，所以，故选A.

3.二项分布模型.

【例3】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P(X=4)

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

4.样本数据估计总体特征模型.

【例4】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次

的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站、

高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．

【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为．

5.直方图估计模型.

【例5】(2019年新课标Ⅲ卷）甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．

（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

【解析】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．

b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．

（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．

6．线性回归模型.

【例6】（2018年新课标II卷）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额Y

（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,....,17）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,....,17）

建立模型．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此用模型2能较好得到2018的预测．

【解析】：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．

利用