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广义坐标、静力自由度、动力自由度：

广义坐标：能决定质点系几何质点系

广义坐标必须是相互

的广义坐标。

独立的参数，其选择

广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚至面积和体

原则是使解题方便。

积来表示。

静力自由度：确定结构体系在空间中位置所需的独立参

数的数目称为结构的自由度。

动力自由度的数目与结

构体系的约束情况有关。

动力自由度：结构体系在任意瞬时的一切可能的变形中

，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称为结构的

动力自由度。

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知识点回顾

•对于工程结构而言，其体系的空间位置及变形实际上都与质量相

关联，这时质量是分布参数。

•因此，结构体系的动力自由度和静力自由度应该是一样的。

•但是，为了数学处理上的简单，人们在建立结构体系的简化力学模型

是可能忽略了一些对惯性影响不大的因素，从而可能导致两种自由度

的不同。

•假设各节点是刚性的，忽略构件的轴向和剪切变形以及节点的转动惯

量，平面框架有12个可动点，总共15个静力自由度。

•然而，动力自由度只有3个。若节点的转动惯量不忽略，则结构的动

力自由度数为15，与静力自由度相同。

•由此可见，对于同一结构模型，动、静自

由度之所以发生不相同的情况，完全是由

于动力自由度与静力自由度的定义不同而

导致，也受到力学模型简化的影响。

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振型叠加法是求解线弹性多自由度体系动力反应的行之有效方

法，在确定前若干阶振型和自振频率，任何线性结构动力

反应的近似解都很容易求得。

我们实际所的结构范围十分广泛，从只有几个自由度的高

度简化的数学模型、只需要考虑一、二阶模态就能求得动力反

应的近似解，一直到包含几百甚至数万个自由度的高度复杂的

有限单元模型，其中可能有50或100阶模态对结构动力反应有

重要影响。

要求解大型结构至要求阶数的振型和频率，完全利用行列式方

程的解法是的。从数学观点来看，求解各类结构的振型和

自振频率属于矩阵特征值问题，可以利用矩阵特征值的求解技

术来处理结构振型和自振频率的求解问题。

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求解自振特性的主要方法：

Rayleigh法

Rayleigh-Ritz法

矩阵迭代法

基本模态迭代法

高阶模态迭代法

Jacobi(雅可比)迭代法

子空间迭代法

Lanczos法

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Comments

因为计算结果的有效性直接取决于数学模型如何恰当地表示

实际体系的特性，所以在任何动力分析中，数学模型的

表达是最为关键的步骤。为此讨论的目的，假设数学模

型是一个有限单元的集合体，使之相互连接的节点位移作为

模型的自由度。

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§14-1有限元自由度

一维单元

模型的自由度数由结构的布置所决定．一般来说，

所有自由度都与给结构施加常见静荷载分布所引起的应力和位

移分析有关．另一方面，在任意动力荷载下的反应分析中，