25届（新教材QG版）数学精练案基础课04基本不等式.docx

8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．

(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面PCD．

【答案】

(Ⅰ)证明：取AD中点为O，BC中点为F，

由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，

得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，

又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，

又CD?FO，则CD⊥AE，

又E是PD中点，则AE⊥PD，

由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，

又AE?平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；

基础课04基本不等式

课时评价·提能

基础巩固练

1.若实数a，b满足a+b=1，则

A.2 B.1 C.12 D.

[解析]∵ab≤a

∴ab≤122，即ab≤14

∴abmax=1

2.函数y=3x+

A.4 B.23?3 C.2

[解析]因为x1，所以y=3x?1+1x?1+3≥23x?1

3.已知正实数x，y满足2x+1y=

A.2 B.4 C.8 D.12

[解析]由x0，y0且2

所以4xy?

当且仅当4yx=xy，即x=4，y=

4.若?1x1

A.最大值?1 B.最小值?1 C.最大值1

[解析]由?1x

所以y=?12?1?x2+11?x=?12[1?x+11

5.下列不等式恒成立的是（D）.

A.x+1x

C.a+b2

[解析]对于A，当x0时，不等式显然不成立，故A

对于B，“a+b≥2ab”成立的条件为“a≥0,

对于C，当a=?b≠0时，不等式显然不成立，故

对于D，由a2+b2?2ab=a?

故选D.

6.若用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，规定车厢宽度为2

A.38?373m3 B.16

[解析]设长方体车厢的长为xm，高为?m，则2x+2

∴16=x+

解得0

∴0

∴车厢的容积V=2x?≤16m3,当且仅当x=2?,

∴车厢容积的最大值为16m3.

7.最大视角问题是德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般被称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面12米，树上另一点B离地面8米，若某人站在高台上仰视此树，其双眼在离地面2米的C处，则tan∠ACB的最大值为（C

A.55 B.1010 C.1515

[解析]如图，过点C作CD⊥AB，交AB于点D，则AB=4,

设∠BCD=α,CD=xx0

在Rt△ACD中，tan∠

所以tan∠ACB=tan∠ACD?α=10x?6x1+10x?6x=

8.已知正实数a，b满足ab+a+b=

A.26?3 B.22

[解析]因为a0,b

所以ab+1=

由a=2?bb+10，得0

所以a+

当且仅当3t=2t，即t=62

则a+2b的最小值为26?

综合提升练

9.（多选题）已知a，b是两个正数，4是2a与16b的等比中项，则下列说法正确的是（

A.ab的最小值为1 B.ab的最大值为1

C.1a+1b的最小值为94

[解析]因为2a?16b

所以a+4b=4≥24ab，可得ab≤1，当且仅当a

所以ab的最大值为1，故A错误，B正确.

因为1a+1b=1a+1b?a+4b?14=141+4+4ba+ab≥1

10.（多选题）以下说法正确的是（AB）.

A.若x0，则2

B.当a2+

C.关于x的不等式x2+2x≥ax在[

D.当x∈(0,π2)

[解析]对于A，因为x0，所以3x+3x≥23x?3x=6(当且仅当3x=3x，即x=1

对于B，因为a2+b2≥2ab，所以2a2+b2≥a+b2

对于C,关于x的不等式x2+2x≥ax在[1,2]上有解等价于a≤x

对于D，当x∈(0,π2)时，sinx∈0,1，令t=sinx∈0,1，ft=t+2t，由对勾函数的性质易知ft=

11.设x,y∈R,a1,b1，若ax=

[解析]因为ax=by=6

又loga6?

所以1x=log

因为a1,b1

当且仅当2a=b，即a=4,b

所以ab≤

所以1x

所以1x+1y

12.（双空题）已知实数x，y，z不全为0，则w=y2+2xzx

[解析]w=y2+2xzx2+y2+z2≥y

w=y2+2xzx2+y2+z2

应用情境练

13.某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费（单位：万元）与供热站到社区的距离（单位：千米）成反比，每月供热费（单位：万元）与供热站到社区的距离成正比.如果在距离社区20千米处建立供热站，自然消费与供热费分别为0.5万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处.

[解析]设供热站建在离社区x千米处，自然消费y1=k1x万元，

由题意得,当x=20时，y1

所以k1