考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编16(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编16(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0

和(Ⅱ)：ATAx=0，必有

A．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．

B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．

C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．

D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．

正确答案：A

解析：若x满足Ax=0，两端左乘AT，得ATAx=0，故Ax=0的解都是ATAx=0

的解；若x满足ATAx=0，两端左乘xT，得(xTAT)(Ax)=0，即(Ax)T(Ax)=0，或‖

Ax‖2=0，得Ax=0，所以ATAx=0的解也都是Ax=0的解．因此(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，

只有选项A正确．知识模块：线性方程组

2．4个平面aix+biy+ciz=di(i=1，2，3，4)交于一条直线的充要条件是对应

的联立线性方程组的系数矩阵A与增广矩阵=

A．1

B．2

C．3

D．4

正确答案：B

解析：记4个平面方程联立所得方程组为Ax=b，则4个平面交于一条直线

→Ax=b的通解为x=(x0，y0，z0)…+c(l，m，n)’→r(A)=r(A┆b)且Ax=0的基础

解系所含解向量个数为3一r(A)=1→r(A)=r(A)=2，只有选项B正确．知识模块：

线性方程组

3．设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且则线性方程组

A．Ax=α必有无穷多解．

B．Ax=α必有唯一解．

C．=0仅有零解．

D．=0必有非零解．

正确答案：D

解析：因为方程组=0是n+1元齐次线性方程组，而它的系数矩阵的秩为：

秩=秩(A)≤n＜n+1，故该齐次线性方程组必有非零解，即(D)正确．注意，在题

设条件下，有秩(A)=秩[A┊α]．故方程组AX=α必有解，但不能肯定它是有无

穷多解还是有唯一解，故(A)、(B)都不对．知识模块：线性方程组

4．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线

性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系

A．不存在．

B．仅含一个非零解向量．

C．含有两个线性无关的解向量．

D．含有3个线性无关的解向量．

正确答案：B

解析：由A*≠0知A*至少有一个元素Aij=(一1)i+jMij≠0，故A的余子式

Mij≠0，而Mij为A的n一1阶子式，故r(A)≥n一1，又由Ax=b有解且不唯

一知r(A)＜n，故r(A)=n一1．因此Ax=0的基础解系所含向量个数为n—r(A)=n

一(n一1)=1，只有B正确．知识模块：线性方程组

5．设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个

线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为

A．+k1(η2—η1)．

B．+k1(η2—η1)．

C．+k1(η2—η1)+k2(η3—η1)．

D．+k1(η2—η1)+k2(η3—η1)．

正确答案：C

解析：首先，由A[(η2+η3)]=β，知(η2+η3)是Ax=β的一个特解；其次，

由解的性质或直接验证，知η2—η1及η3—η1均为方程组Ax=0的解；再次，

由η1，η2，η3线性无关，利用线性无关的定义，或由[η2—η1，η3—

η1]=[η1，η2，η3]及矩阵的秩为2，知向量组η2—η1，η3—η1线性

无关，因此，方程组Ax=0至少有2个线性无关的解，但它不可能有3个线性无

关的解(否则，3一r(A)=3，→r(A)=0，→A=O，这与Aη1