中考数学知识点46 二次函数与特殊图形的存在性问题.docxVIP

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中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练

二次函数与特殊图形的存在性问题

【真题再现】

1.(2020年盐城第25题)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0)(0<x1<x2),且经过点A(0,2).过点A的直线l与x轴交于点C,与该函数的图象交于点B(异于点A).满足△ACN是等腰直角三角形,记△AMN的面积为S1,△BMN的面积为S2,且S2=52S

(1)抛物线的开口方向上(填“上”或“下”);

(2)求直线l相应的函数表达式;

(3)求该二次函数的表达式.

【分析】(1)根据题意借助图象即可得到结论;

(2)由点A(0,2)及△CAN是等腰直角三角形,可知C(﹣2,0),N(2,0),由A、C两点坐标可求直线l;

(3)由S2=52S1,可知B点纵坐标为5,代入直线AB解析式可求B点横坐标,将A、B、N三点坐标代入y=ax2+bx+

【解析】(1)如图,如二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0)(0<x1<x2),且经过点A(0,2).

∴y=ax2+bx+2,

令y=0,则ax2+bx+2=0,

∵0<x1<x2,

∴2a

∴a>0,

∴抛物线开口向上,

故答案为:上;

(2)①若∠ACN=90°,则C与O重合,直线l与抛物线交于A点,

因为直线l与该函数的图象交于点B(异于点A),所以不合题意,舍去;

②若∠ANC=90°,则C在x轴的下方,与题意不符,舍去;

③若∠CAN=90°,则∠ACN=∠ANC=45°,AO=CO=NO=2,

∴C(﹣2,0),N(2,0),

设直线l为y=kx+b,将A(0,2)C(﹣2,0)代入得b=2?2k+b=0

解得k=1b=2

∴直线l相应的函数表达式为y=x+2;

(3)过B点作BH⊥x轴于H,

S1=12MN?OA,S

∵S2=52S

∴BH=52

∵OA=2,

∴BH=5,

即B点的纵坐标为5,代入y=x+2中,得x=3,

∴B(3,5),

将A、B、N三点的坐标代入y=ax2+bx+c得c=24a+2b+c=0

解得a=2b=?5

∴抛物线的解析式为y=2x2﹣5x+2.

2.(2020年徐州第28题)如图,在平面直角坐标系中,函数y=﹣ax2+2ax+3a(a>0)的图象交x轴于点A、B,交y轴于点C,它的对称轴交x轴于点E.过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,连接DE并延长交y轴于点F,交抛物线于点G.直线AF交CD于点H,交抛物线于点K,连接HE、GK.

(1)点E的坐标为:(1,0);

(2)当△HEF是直角三角形时,求a的值;

(3)HE与GK有怎样的位置关系?请说明理由.

【分析】(1)利用对称轴公式求解即可.

(2)连接EC,分两种情形:当∠HEF=90°时,当∠HFE=90°,分别求解即可.

(3)求出直线HF,DF的解析式,利用方程组确定点K,G的坐标,再求出直线EH,GK的解析式即可判断.

【解析】(1)对于抛物线y=﹣ax2+2ax+3a,对称轴x=?2a

∴E(1,0),

故答案为(1,0).

(2)如图,连接EC.

对于抛物线y=﹣ax2+2ax+3a,令x=0,得到y=3a,

令y=0,﹣ax2+2ax+3a=0,解得x=﹣1或3,

∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3a),

∵C,D关于对称轴对称,

∴D(2,3a),CD=2,EC=DE,

当∠HEF=90°时,

∵ED=EC,

∴∠ECD=∠EDC,

∵∠DCF=90°,

∴∠CFD+∠EDC=90°,∠ECF+∠ECD=90°,

∴∠ECF=∠EFC,

∴EC=EF=DE,

∵EA∥DH,

∴FA=AH,

∴AE=12

∵AE=2,

∴DH=4,

∵HE⊥DFEF=ED,

∴FH=DH=4,

在Rt△CFH中,则有42=22+(6a)2,

解得a=33或

∴a=3

当∠HFE=90°时,∵OA=OE,FO⊥AE,

∴FA=FE,

∴OF=OA=OE=1,

∴3a=1,

∴a=1

综上所述,满足条件的a的值为33或1

(3)结论:EH∥GK.

理由:由题意A(﹣1,0),F(0,﹣3a),D(2,3a),H(﹣2,3a),E(1,0),

∴直线AF的解析式y=﹣3ax﹣3a,直线DF的解析式为y=3ax﹣3a,

由y=?3ax?3ay=?ax2+2ax+3a,解得

∴K(6,﹣21a),

由y=3ax?3ay=?ax2+2ax+3a,解得

∴G(﹣3,﹣12a),

∴直线HE的解析式为y=﹣ax+a,

直线GK的解析式为y=﹣ax﹣15a,

∵k相同,a≠﹣15a,

∴HE∥GK.

3.(2020年苏州第25题)如图,二次函数y=x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A,平行于x轴的直线l与该抛物线交

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