人教B版高中数学必修第三册精品课件 第7章 三角函数 7.3.5 已知三角函数值求角.ppt

7.3.5已知三角函数值求角第七章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.掌握已知三角函数值求角的方法,并能根据已知的三角函数值求角.2.能用符号arcsinx,arccosx,arctanx表示角.3.培养数学抽象、直观想象、数学运算素养.

自主预习新知导学

一、已知正弦值求角1.函数y=sinx,x∈R,y∈[-1,1],对任一x值,有几个y值与之对应?对于任一y值,有几个x值与之对应?提示:一个;无数个.2.对于函数y=sinx,x∈,y∈[-1,1],对于任一y值,有多少个x值与之对应?提示:一个.

二、已知余弦值求角1.已知cosx=,若x∈[0,π],则x的值是什么?若x∈[π,2π],则x的值是什么?2.在区间[0,π]内,满足cosx=y(y∈[-1,1])的x只有一个,记作arccosy,即x=arccosy.?

三、已知正切值求角

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(4)在区间[0,2π]上,满足条件sinx=a(-1≤a≤1)的x有2个.()(5)在区间[0,2π]上,满足条件cosx=a(-1≤a≤1)的x有2个.()√××××√

合作探究释疑解惑

探究一已知正弦值求角

已知三角函数值求角的步骤:(1)定象限:由已知函数值的正负确定角所在的象限.(2)找锐角:若函数值为正值,则先求出对应的锐角α;若函数值为负值,则先求出与其绝对值相对应的锐角α.(3)求符合条件的角:根据角所在的象限,利用诱导公式写出区间[0,2π]范围内的角(α,π-α,π+α,2π-α);若要求出区间[0,2π]范围外的角,则可利用终边相同的角有相同的三角函数值写出结果.

【变式训练1】若sinα=,试根据下列范围,利用符号arcsinx表示角α.(1)若α为锐角,则α=;?(2)若α为三角形内角,则α=;?(3)若α∈[0,2π],则α=;?(4)若α∈R,则α=.?

探究二已知余弦值求角【例2】已知cosx=-,求满足下列条件的x的取值集合:(1)x∈[0,π];(2)x∈[0,2π].

cosx=a(-1≤a≤1),当x∈[0,π]时,x=arccosa;当x∈R时,可先求得区间[0,2π]上的解,再利用周期性可求得R上的所有解.

【变式训练2】已知cosx=-0.287,(1)当x∈[0,π]时,求x;(2)当x∈R时,求x的取值集合.解:∵cosx=-0.2870,∴先求出cosx=0.287的锐角x1,即x1=arccos0.287.(1)∵cosx=-0.2870,x∈[0,π],∴x是钝角,x=π-arccos0.287.

(2)当x∈R时,先求出区间[0,2π]上的解,∵cosx=-0.287,∴x是第二象限角或第三象限角.∴x=π-arccos0.287或x=π+arccos0.287.∴所求x的取值的集合是{x|x=2kπ+π-arccos0.287或x=2kπ+π+arccos0.287,k∈Z},即{x|x=(2k+1)π±arccos0.287,k∈Z}.

探究三已知正切值求角【例3】已知tanα=-3.(2)若α∈R,求角α.∴α=arctan(-3).(2)由(1)及正切函数的周期性知,α=kπ+arctan(-3),k∈Z.

1.已知角的正切值求角,可先求出区间内的角,再由y=tanx的周期性表示所给范围内的角.2.tanα=a,a∈R的解集为{α|α=kπ+arctana,k∈Z}.

【变式训练3】已知tanx=-1,写出在区间[-2π,0]上满足条件的x.

易错辨析因忽略角的范围致错【典例】已知cosα=,α∈[0,2π],求角α.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?提示:上面解法中忽视了α∈[0,2π],-arccos?[0,2π].

求解此类问题时,为避免产生错误,我们既要清楚arcsinx,arccosx,arctanx的范围,还要注意所求角的范围.

答案:π-arctan0.4201

随堂练习

答案:B

答案:A

3.若x∈[0,2π],则满足5sin2x-4=0的x有个.?答案:4答案:π-arctan8

本课结束