人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2.3 倍角公式.ppt

8.2.3倍角公式第八章

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

课标要求1.掌握倍角的正弦、余弦和正切公式,并能推导.2.会用倍角公式进行三角函数的求值、化简和证明.

基础落实?必备知识全过关

知识点倍角公式2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-1sin2α+cos2α=11-2sin2α

名师点睛(1)二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是的二倍等.“倍”是描述两个数量之间的关系的,这里蕴含着换元思想.(3)一般情况下,sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.

(4)倍角公式的逆用更能拓展思路,我们要熟悉这组公式的逆用,如sin3αcos3α=sin6α.(5)二倍角公式的变换①因式分解变换.cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)·(cosα-sinα).②配方变换.1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2.③升幂缩角变换.1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.④降幂扩角变换.cos2α=(1+cos2α),sin2α=(1-cos2α).

过关自诊求下列各式的值.(1)4sin15°cos15°=;?(2)若cosα=,则cos2α=;?(3)若tanθ=,则tan4θ=.?1

重难探究?能力素养全提升

探究点一化简、求值问题【例1】求下列各式的值:

规律方法化简、求值问题的求解策略解决此类题目时,要善于观察三角函数式的特点,常变形后正用或逆用公式来解决.

变式探究

变式训练1

探究点二利用二倍角公式解决条件求值问题【例2】(1)已知sinα=3cosα,那么tan2α的值为()

分析(1)可先求tanα,再求tan2α.(3)可先求sin2α,cos2α,cosβ,再利用两角和的余弦公式求cos(2α+β).答案(1)D(2)C

规律方法直接应用二倍角公式求值的三种类型

变式训练2

探究点三利用二倍角公式证明分析可先化简等式左边,切化弦,再利用二倍角公式化简出右边.

规律方法证明问题的原则及一般步骤(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.(2)证明的一般步骤:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.

变式训练3求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos2Acos2B.

素养培优逆用公式巧解题在运用公式时,不仅要善于观察题目的结构特点,直接运用公式,还要善于逆用、变形用公式.(1)公式逆用.

(2)公式的逆向变换及有关变形.1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2;1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α;(3)倍角的余弦公式有三种形式:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.在应用时要注意选择合适的形式.

【典例】求值:(1)sin10°sin50°sin70°;(2)sin6°sin42°sin66°sin78°.

规律方法求连续几个正弦或余弦的积,常构造正弦的倍角公式连续使用,最后利用诱导公式化简求值.

学以致用?随堂检测全达标

答案B

答案D

5.(2022北京北师大实验中学高一期中)已知平面直角坐标系内,角α的终边经过点(-1,2).(1)求sinα,cosα及tanα的值;

6.(2022陕西西安高一期中)求证:(1)sinθ(1+cos2θ)=sin2θcosθ;证明(1)左边=sinθ(1+2cos2θ-1)=2sinθcosθcosθ=sin2θcosθ=右边.∴原等式成立.

本课结束