人教B版高中同步学案数学必修第四册精品课件 第九章 解三角形 习题课 正弦定理和余弦定理的综合应用.ppt

第九章习题课正弦定理和余弦定理的综合应用

重难探究·能力素养全提升

探究点一三角形解的个数的判断【例1】根据下列条件,判断解三角形时是否有解,若有解,有几个解?(2)a=60,b=48,B=60°;(3)a=7,b=5,A=80°;(4)a=14,b=16,A=45°.

∵ba,∴BA,∴B可能为锐角,也可能为钝角,即有两解.

方法二(从几何角度)(1)∵A90°,且ab,∴有一解,即这样的三角形是唯一的.(3)∵a=7,b=5,A=80°,ab,∴有一解,即这样的三角形是唯一的.

规律方法已知两边和一边的对角判断三角形解的个数的两种基本方法(1)代数法:已知a,b,A求B,则,求出角B的正弦值,再结合大边对大角等判断解的个数.(2)几何法:如下表.

变式训练1(1)[2023浙江海曙校级期中]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=45°,a=2,c=x,若△ABC有两个解,则x的取值范围为()C解析若△ABC有两个解,则xa,且axsinA.因为a=2,A=45°,所以2x.故选C.

(2)已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.①a=10,b=20,A=80°;②a=,b=6,A=30°.解①因为bsinA=20sin80°20sin60°=,所以absinA,所以此三角形无解.②因为bsinA=6sin30°=3,所以bsinAab,所以此三角形有两解.

探究点二边角互化【例2】(1)[2023重庆模拟]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为A

(2)在△ABC中,(a-c·cosB)sinB=(b-c·cosA)sinA,判断△ABC的形状.解(方法一)因为(a-c·cosB)sinB=(b-c·cosA)·sinA,所以由正弦定理、余弦整理得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a2=b2或a2+b2-c2=0,所以a=b或a2+b2=c2.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

(方法二)由题意及正弦定理,得(sinA-sinCcosB)·sinB=(sinB-sinCcosA)sinA,即sinCcosBsinB=sinCcosAsinA.因为sinC≠0,所以sinBcosB=sinAcosA,即sin2B=sin2A.因为A,B为△ABC的内角,所以2B=2A或2B+2A=π,即A=B或A+B=.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

规律方法边角互化的策略(1)设△ABC的外接圆的半径为R.正弦定理的变形:①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;

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探究点三三角形中的取值范围(最值)问题【例3】(1)[北师大版教材例题]在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知A是锐角,且cos2A=.①若mbc=b2+c2-a2,求实数m的值;②若a=,求△ABC面积的最大值.

变式训练3(1)在锐角三角形ABC中,(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,若a=3,则b2+c2的取值范围是()A.(9,18] B.(15,18) C.[9,18] D.(15,18]D

(2)[2023江苏新沂校级月考]在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sin22A+cos2A=1.①求角A;②若a=,求△ABC周长的最大值.解①由2sin22A+cos2A=1,得2(1-cos22A)+cos2A=1,即2cos22A-cos2A-1=0.

本课结束