人教B版高中同步学案数学必修第四册精品课件 第十一章 立体几何初步 11.4.2 平面与平面垂直.ppt

第十一章11.4.2平面与平面垂直

课程标准1.理解平面与平面垂直的定义.2.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中面面垂直的有关判定方法及性质.3.掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的垂直性问题.4.理解二面角的定义并能求解二面角大小.

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知识点1二面角概念平面内的一条直线把平面分成两部分,其中的每一部分都称为.从一条直线出发的所组成的图形称为二面角.这条直线称为二面角的,这两个半平面称为二面角的?图示一个半平面两个半平面棱面

平面角定义在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的称为二面角的平面角?图示符号OA?α,OB?β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角范围?规定二面角的大小用它的的大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是的二面角称为直二面角?棱角[0,π]平面角直角

记法以AB为棱,α和β为半平面的二面角,通常记作二面角α-AB-β.如果C和D分别是半平面α和β内的点,那么这个二面角也可记作C-AB-D特别提醒:一般地,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的4个二面角中,的角的大小.?不大于90°

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角.()(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.()(3)二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直.()(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.()××√√

2.[北师大版教材习题]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过A,B,D三个点作一个平面,请画出二面角A-BD-A1的平面角,并说明画图的根据.解如图,连接AC,交BD于点O,连接A1O,则∠AOA1就是二面角A-BD-A1的平面角.根据:正方形ABCD中,AO⊥BD且O为BD的中点.又正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B=A1D,所以A1O⊥BD.所以∠AOA1就是二面角A-BD-A1的平面角.

知识点2两个平面垂直及其判定定理、性质定理定义:一般地,如果两个平面α与β所成角的大小为90°,则称这两个平面,记作α⊥β.?定理判定定理性质定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的,则这两个平面互相垂直?如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于另一个平面?图形语言符号语言如果l?α,l⊥β,则α⊥β如果α⊥β,α∩β=m,AO?α,AO⊥m,则AO⊥β互相垂直一条垂线垂直于它们交线的直线

名师点睛对判定定理的理解:此定理不仅是判定两个平面互相垂直的理论依据,还是找出或作出与已知平面垂直的平面的理论依据,该定理实现了线面垂直和面面垂直之间的转化,可以简单记为“线面垂直得面面垂直”.应用时可先固定一个平面,再在另一个平面内找到一条直线与第一个平面垂直即可.对性质定理的理解:此定理实现了面面垂直和线面垂直之间的转化,可以简单记为“面面垂直得线面垂直”,该定理也给出了过一点引一个平面垂线的方法.两个平面垂直的性质还有:(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;(2)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面.

过关自诊1.[北师大版教材习题]下列命题中错误的是()A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βB.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γA

解析理由:对于A,由面面垂直的性质定理可知,平面α内只有那些与交线垂直的直线,才垂直于平面β,故A错误.对于B,平面α内所有与交线平行的直线都平行于平面β,故B正确.对于C,若平面α内存在直线垂直于平面β,则平面α垂直于平面β(接下来要学到).与条件矛盾,故C正确.对于D,如图,在平面γ内任取一点A,过点A作平面α与平面γ交线的垂线AB,过点A作AC垂直于平面β与平面γ的交线,则由面面垂直的性质定理,知AB⊥α,AC⊥β.又因为α∩β=l,所以l⊥AB,l⊥AC.又因为AB,AC?γ,且AB∩AC=A,所以由线面垂直的判定定理,得l⊥γ,故D正确.

2.[北师大