常微分方程答案-一二章.doc

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h习题1.2

4.给定一阶微分方程，

(1).求出它的通解；

(2).求通过点的特解；

(3).求出与直线相切的解；

(4).求出满足条件的解；

(5).绘出(2),(3),(4)中的解得图形。

解：(1).通解显然为；

(2).把代入得，故通过点的特解为；

(3).因为所求直线与直线相切，所以只有唯一解，即只有唯一实根，从而，故与直线相切的解是；

(4).把代入即得，故满足条件的解是；

(5).图形如下：

5.求下列两个微分方程的公共解：

解：由可得

所以或，代入原微分方程满足，而代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。

6.求微分方程的直线积分曲线。

解：设所求直线积分曲线是，则将其代入原微分方程可得

所以所求直线积分曲线是或。

8.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：

(2).曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长；

(5).曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。

解：因为过点的切线的横截距和纵截距分别为和，故

(2).；

(5).。

习题2.1

1.求下列方程的解：

(2).，并求满足初值条件的特解；

解：当，分离变量，得

两边同时积分，得

两边同时积分，得所求通解是

2.作适当的变量变换求解下列方程：

(1).

解：令，则原方程化为

两边同时积分，得

将代入，得原方程的通解是

即

(3).

解：因为

令，则原方程化为

再令，得

两边同时积分，得

将代入，得原方程的通解是

(7).

解：原方程可化为

令，则原方程化为

再令，得

用分离变量法求解，得

将代入，得原方程的通解是

习题2.2

1.求下列方程的解：

(5).；

解：原方程可化为：

对应的齐次方程为，用变量分离法求得其解为。令GOTOBUTTONZEqnNum320849REFZEqnNum320849\!(4)的解为，则将其代入GOTOBUTTONZEqnNum320849REFZEqnNum320849\!(4)可得

所以原方程的通解为

(8).；

解：当时，原方程可化为：

这是未知函数为的非齐次线性方程，对应的齐次方程为，用变量分离法求得其解为。令GOTOBUTTONZEqnNum503094REFZEqnNum503094\!(5)的解为，则将其代入GOTOBUTTONZEqnNum503094REFZEqnNum503094\!(5)可得

所以GOTOBUTTONZEqnNum503094REFZEqnNum503094\!(5)的通解为

又也是原方程的解，故原方程的通解为

和

(12).；

解：原方程可化为：

这是的Bernoulli方程。当时，GOTOBUTTONZEqnNum394809REFZEqnNum394809\!(6)两边同时除以，得

令，则

其对应的齐次方程的解为，令GOTOBUTTONZEqnNum766769REFZEqnNum766769\!(7)的解为，则将其代入GOTOBUTTONZEqnNum766769REFZEqnNum766769\!(7)可得

所以GOTOBUTTONZEqnNum766769REFZEqnNum766769\!(7)的通解为

将代入，得。又也是原方程的解，故原方程的通解为

和

(13).；

解：原方程可化为：

这是的Bernoulli方程，GOTOBUTTONZEqnNum665449REFZEqnNum665449\!(8)两边同时乘以，得

令，则

其对应的齐次方程的解为，令GOTOBUTTONZEqnNum737569REFZEqnNum737569\!(9)的解为，则将其代入GOTOBUTTONZEqnNum737569REFZEqnNum737569\!(9)可得

所以GOTOBUTTONZEqnNum737569REFZEqnNum737569\!