常微分方程的应用.docx

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《常微分方程应用》结课作业

学院：轻工与纺织学院

班级：服装设计与工程13-1班

学号：201321805024

姓名：周志彬

常微分方程经济应用

微分方程在不仅在物理学、力学上有广泛的应用，在经济学和管理科学等实际问题中也比比皆是，本次我们将集中讨论微分方程的经济应用。读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决经济管理实际问题的魅力.

随着社会经济的迅速发展,数学在我们的生活中可以说无处不在,尤其是在经济管理中的应用越来越广泛.经济学必须进行定量研究.而常微分方程是对经济管理问题进行定量研究的最重要、最基本的数学工具之一，为了研究经济变量之间的联系及其内在规律,常常需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式,并由此确定所研究函数的形式,从而根据一些已知条件来确定该函数的表达式.从数学上讲,就是建立微分方程并求解微分方程.用微分方程解决问题，下面就是几个例子：

一、公司资产函数

例。某公司t年净资产有(百万元),并且资产本身以每年5%的速度连续增长,同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工工资.

给出描述净资产的微分方程;

(2)求解方程,这时假设初始净资产为

(3)讨论在三种情况下,变化特点.

解(1)利用平衡法，即由净资产增长速度＝资产本身增长速度－职工工资支付速度

得到所求微分方程

(2)分离变量，得

两边积分，得为正常数），于是

或

将代入，得方程通解：

上式推导过程中当时，知

通常称为平衡解，仍包含在通解表达式中.

(3)由通解表达式可知，当百万元时，净资产额单调递减，公司将在第36年破产；

次货。每张毛巾的存贮费用一年为0·126元。这个商店的经理感觉到每年订货两次看来并非是一个好的订货方法，他希望能找到一种方法能帮助他确定每年应该订货几次。每次的数量应该为多少，将可能为他节约一笔总的库存费用。

解析：现在“百花”商店是每年进货两次，每年毛巾的需求量是H=（400*360)144000张，则每次订货数量为144000/2=72000张。

这个库存问题是等量需求及时补充的，因此不会产生脱销费用。这时的年度总库存费用=年订货费用+年存贮费用，用公式表示为∶A=B+C

其中∶A为年总库存费用；

B为年订货费用，B=HS/Q，式中H为年需求量，本例H=144000张。S为每次订货费用，S=112元。Q为每次订货量，本例Q=72000张。则

B=HS/Q=144000×112/72000=224元。每年订货次数（N=H/Q)，则B=NS=2×112=224元。

C为年存贮费用，C=Q/2×K，K为单位商品的存贮费用，Q/2为平均库存量。本例K=0.126元，

则C=72000/2×0.126=4536元。

因此“百花”商店每年订货两次，每次订货量为72000张时的总库存费用为A=B十C=224＋4536=4760元。

3.国民收入的稳定分析模型

本模型主要讨论国民收入与消费和积累之间的关系问题.

设第t期内的国民收入主要用于该期内的消费,再生产投资和政府用于公共设施的开支G(定为常数),即有

(9.17)

又设第t期的消费水平与前一期的国民收入水平有关,即

(9.18)

第t期的生产投资应取决于消费水平的变化,即有

(9.19)

由方程(9.17),(9.18),(9.19)合并整理得

(9.20)

于是,对应A,B,G以及可求解方程,并讨论国民收入的变化趋势和稳定性.

例：社会原收入水平1000亿元，消费为800亿元。当收入增加