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常微分方程学习辅导（一）

初等积分法

微分方程的古典内容主要是求方程的解，用积分的方法求常微分方程的解，叫做初等积分法，而可用积分法求解的方程叫做可积类型。初等积分法一直被认为是常微分方程中非常有用的基本解题方法之一，也是初学者必须接受的最基本训练之一。

在本章学习过程中，读者首先要学会准确判断方程的可积类型，然后要熟练掌握针对不同可积类型的5种解法，最后在学习指导下的帮助下，总结一下初等积分法中的各种解法与特点与内在联系，以提高自己的解题能力与技巧。

主要内容回顾

一、主要概念

微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式。

常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导数构成的等式。

偏微分方程：未知函数是两个或两个以上变元的函数，由这样的未知函数及其偏导数构成的等式。

微分方程的阶：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。

微分方程的解：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解。

通解：n阶方程，其解中含有n个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。由隐式表出的通解称为通积分。

特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分。

初值问题：求微分方程满足初值条件的解的问题。

变量可分离方程：

形如或的方程称为变量可分离方程。

齐次微分方程：形如的方程，称为齐次微分方程。

线性微分方程：未知函数和它的导数都是一次的微分方程。

一阶线性微分方程：

一阶线性微分方程的形式是如果,即称为一阶线性齐次方程。如果不恒为零，则称为一阶线性非齐次方程。

伯努利（Bernoulli）方程：形如()的方程，称为伯努利方程。

全微分方程：如果微分形式的一阶方程

的左端恰好是一个二元函数的全微分，即

则称是全微分方程或恰当方程，而函数称为微分式的原函数。

积分因子：假如存在这样的连续可微函数，使方程

成为全微分方程，我们就把称为方程的一个积分因子。

二、主要定理

定理1.1假如是微分的一个原函数，则全微

标6．一阶显式方程初等积分法的内在关系

用积分因子的观点可以把1.2节~1.5节所介绍的五种可积类型方程（变量可分离方程，齐次方程，线性方程，伯努利方程几及全微分方程）如图所示：

变量可分离方程

变量可分离方程

线性方程齐次方程

线性方程

齐次方程

全微分方程

全微分方程

坐

平

移

伯努利方程

伯努利方程

一阶显式方程可积类型关系图

7．积分因子是否唯一

不是。例如，考虑方程，显然它不是全微分方程。但是，因为

所以，都是此方程的积分因子。

一般地，设是方程的一个积分因子，于是存在二元函数，有。现对于的任一连续函数，由于

其中是的一个原函数，可见也是方程的积分因子，因而方程有无穷多个积分因子。

8．判断题型的顺序

为了熟练掌握初等积分法，不仅要掌握每种可积类型方程的解法，而且还要正确而又敏捷地判断一个给定方程属于何种可积类型。

在判断题型时，经验告诉我们，可以按如下顺序判断，即：阶显次即

线性方程伯努利方程

显式方程齐次方程

一阶方程非线性方程变量可分离方程

阶隐式方程全微分方程

高阶方程（积分因子）

判断顺序，由左向右，通常积分因子在最后加以考虑。