《实变函数》课程教学大纲.docx

《实变函数》课程教学大纲

课程总学时/学分：54/3

课程类别：专业限选课

一、教学目的和任务

实变函数论是数学类专业开设的一门重要专业基础课，是数学分析的一门后继

课程，是数学分析课程中微积分理论的深入和发展，也是学习现代数学不可缺少的

基础知识之一。

本课程概念性强，内容抽象，推理严谨，在学习这门课程的过程中，学生们将

会接受一次严格的数学训练。学好这门课程，对进一步学习现代数学理论，加深对

数学分析及其他有关课程如概率论、泛函分析、数理方程、积分方程等的理解，有

着至关重要的作用。

二、教学基本要求

本课程以Rn上勒贝格积分理论为中心，重点放在勒贝格测度的建立和勒贝格积

分理论上，对微分、不定积分等尽可能简略些。

由于本课程是数学分析微积分理论的深入和发展，所以在教学过程中，应注意

两者间的联系，找出异同点。要抓住最基本内容和主要线索，深入分析，严格论证，

使学生通过消化而牢固掌握最基本的概念、定理和方法。

三、教学内容及学时分配

第一章集合（8学时）

教学要求：

1．掌握有限集、无限集、可数集、不可数集的概念；弄懂集合对等与集合基数

的定义。

2．牢固掌握集合对等的伯恩斯坦定理；掌握集合的笛摩根对偶公式；掌握（0，

1）不可数的证法。

3．会进行集合间的运算；会判断集合的相等、包含与对等；会判断集合可数或

不可数。

教学重点：

集合间的运算；集合的相等、包含与对等；集合可数或不可数。

教学难点：

集合对等的伯恩斯坦定理。

第二章点集（8学时）

教学要求：

1．牢固掌握点集的聚点、界点、内点的定义，重点掌握开集、闭集、完备集的

定义及证明方法。

2．掌握直线上开集、闭集及完备集的构造。

3．会证明集合是否为闭集、开集或完备集。

教学重点：

掌握开集、闭集、完备集的定义及证明方法。

教学难点：

直线上开集、闭集及完备集的构造。

第三章测度论（8学时）

教学要求：

1．掌握集合外测度的定义；重点掌握集合勒贝格可测的定义及等价的卡氏定义；

了解不可测集的存在性。

2．掌握外测度与测度的性质。

3．掌握可测集类；掌握可测集的运算性质；会判断和证明集合可测与否。

教学重点：

集合勒贝格可测的定义及等价的卡氏定义，可测集的性质。

教学难点：

会判断和证明集合可测与否。

第四章可测函数（10学时）

教学要求：

1．牢固掌握可测函数的定义及其性质；掌握反映可测函数构造的鲁津定理的内

容与证明方法；掌握度量收敛的概念。

2．清楚地了解可测函数各种收敛间的关系；重点掌握勒贝格度量收敛定理、黎

斯几乎处处收敛定理，叶果洛夫近一致收敛定理的条件、结论及证明方法，特别要

掌握黎斯选收敛子列的方法。

3．会用定义证明可测函数列是度量收敛的。

教学重点：

勒贝格度量收敛定理、黎斯几乎处处收敛定理，叶果洛夫近一致收敛定理的条

件、结论及证明方法。

教学难点：

黎斯选收敛子列的方法。

第五章积分论（16学时）

教学要求：

1．掌握可测集上有界函数勒贝格可积的定义及性质，了解黎曼积分与勒贝格积

分的异同点及相互关系，掌握勒贝格可积函数类。

2．牢固掌握可测集上非负函数勒贝格可积的意义及可测集上一般函数勒贝格可

积的定义；掌握这些积分的性质。

3．熟练掌握积分极限的三大定理（勒贝格控制收敛定理、列维收敛定理、法都

引理）的条件结论及证明，并会用来求积分的极限。

4．了解勒格积分的几何意义。

5．会求某些勒贝格可积函数的积分。

教学重点：

积分极限的三大定理（勒贝格控制收敛定理、列维收敛定理、法都引理）的条

件结论及证明。

教学难点：

用积分极限的三大定理求积分的极限。

第六章微分与不定积分（4学时）

教学要求：

1．掌握有界变差函数，绝对连续函数的定义，掌握它们的分析性质；明确绝对

连续函数与不定积分的关系。

2．了解斯蒂阶斯积分的概念。

教学重点：

绝对连续函数与不定积分的关系。

教学难点：

绝对连续函数与不定积分的关系。

四、推荐教材及参考书目

[1]程其襄等.实变函数与泛函分析基础（第三版），高等教育出版社，2010

[2]夏道行等.实变函数论与泛函分析（第2版）上册，高等教育出版社，2010

[3]郑维行，王声望.实变函数与泛函分析概要（第四版）第一册，高等教育出版社，

2010

[4]江泽坚，吴智泉.实变函数论，人民教育出版社，1979