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《复变函数》课程教学大纲

课程总学时/学分：54/3

课程类别：专业限选课

一、教学目的和任务

复变函数是数学分析的后继课程，是多复变函数论、复变函数逼近论和广义解

析函数论等专门化课程的基础，它的理论和方法对微分方程、概率论与数理统计、

数论等数学分支以及对通讯工程、力学、物理等方面都有广泛而又深入的影响。通

过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，培养学生具有较强的

分析问题和解决问题的能力，为将来从事相关专业的工作和研究生深造打好基础。

二、教学基本要求

教学重点放在单复变函数的微分、积分、级数展开、留数和分式线性变换等经

典理论上；对于多值解析函数，重点讲授根式函数和对数函数，其余部分只作介绍；

有些定理可述而不证。在教学过程中，应注意与数学分析等课程的衔接，例如，在

讲述与数学分析相平行的概念（极限、连续、微分、积分、级数）时，要指出其异

同点，着重讲授不同之处。在基本运算方面，例如解析的判定、积分的计算、级数

的展开、奇点的判别、留数定理的应用以及分式线性变换的求法等，应通过适当的

例题和习题，使学生掌握这些主要方法。教学内容主要采用讲授的方式，对部分内

容和习题可采用讨论式教学。

三、教学内容及学时分配

第一章复数与复变函数（6学时）

教学要求：

1．掌握复数的三种表示法及其相互转化关系，熟练掌握复数的模、辐角的求法

与性质，理解两复数积与商的几何意义，牢固掌握复数的乘幂与方根、共轭复数及

其性质。

2．正确理解区域的有关概念以及约当曲线与光滑曲线的定义，理解扩充复数域

的几何表示----复球面，正确理解无穷远点的邻域。

3．深入理解复变函数的映射概念、复变函数的极限与连续的定义。

4．掌握复变函数的极限存在与连续同其实、虚部的极限存在与连续的关系。

教学重点：

复数的模与辐角，复数的乘幂与方根，共轭复数的性质，区域及约当曲线，复

变函数的概念，复变函数的极限与连续。

教学难点：

辐角，方根，复变函数的极限。

第二章解析函数（8学时）

教学要求：

1．深刻理解复变函数可导与复变函数解析的概念，弄清它们的区别与联系。

2．牢记柯西一黎曼方程，牢固掌握函数可微与解析的充要条件，熟练掌握函数

的可微性与解析性的判定，牢记解析函数的求导公式，会求解析函数的导数。

3．掌握常用初等解析函数的特性，弄清它们与实函数之异同。

4．理解根式函数与对数函数的单值解析分支。

教学重点：

解析函数的概念，柯西一黎曼方程，函数可微、解析的充要条件，解析函数的

求导公式，函数的可微性与解析性的判定，指数函数，三角函数，根式函数与对数

函数及其单值解析分支。

教学难点：

复变函数的可微与解析的探讨，根式函数与对数函数的单值解析分支。

第三章复变函数的积分（12学时）

教学要求：

1．理解复积分的概念与基本性质，掌握复积分的参数方程计算法及复积分的模

的估值。

2．熟练掌握柯西积分定理及其等价和推广的定理、复周线的柯西积分定理，牢

固掌握柯西积分公式及高阶导数公式。

3．能熟练地运用（复周线的）柯西积分定理、柯西积分公式及高阶导数公式等

计算相关类型的周线积分，能较熟练地利用参数方程计算公式、复积分的牛顿—莱

布尼兹公式或积分与路径无关性等方法计算弧段积分。

4．理解刘维尔定理、摩勒拉定理及解析函数的两个等价刻划。

5．理解调和函数与共轭调和函数概念，掌握解析函数与调和函数的关系，会由

解析函数的实部或虚部求解析函数的表达式。

教学重点：

复积分的参数方程计算法，柯西积分定理及其等价和推广的定理，复周线的柯

西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式，刘维尔定理等定理，由已知解析函数

的实部或虚部求解析函数的表达式。

教学难点：

柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式的证明，摩勒拉定理。

第四章解析函数的幂级数表示法（6学时）

教学要求：

1．理解复数项级数与复函数项级数的几种收敛性，深刻理解解析函数项级数的

和函数的解析性。

2．会求幂级数的收敛域，熟练掌握幂级数在收敛域内可进行的代数运算及解析

运算，掌握收敛半径与奇点的关系。

3．牢固掌握泰勒定理（圆内解析函数的展开定理），会用直接法或间接法把一

些初等解析函数展成泰勒级数。

4．牢固掌握解析函数零点的定义及特征，深刻理解解析函数零点的孤立性和解

析函数的唯一性，了解最大模原理。

教学重点：

维尔斯特拉斯定理，幂级数的收敛域，幂级数和函数的解析性，泰勒定理，某

些初等函数的泰勒展开，解析函数零点的孤立性定理，解析函数的唯一性定理。

教学难点：

维尔斯特拉斯定理及其证明，泰勒定理及其证明，用间接法将初等函数泰勒展

开，解析函数零点的孤立性定理及其证明、解析函数的唯一性定理及其证明。

第五章解析函数的洛朗展开与孤立奇点（6学时）

教学要求：

1．正确理解双边幂