工程水文随机变量及其概率分布.pptx

随机变量及其概率分布主讲人：尹文亮《工程水文》

目录Contents一随机变量二随机变量的概率分布三随机变量的统计参数

随机变量一

一、随机变量定义：·若随机事件的试验结果可用一个数X来表示，X随试验结果的不同而取得不同的数值。·它是带有随机性的，则将这种随机试验结果X称为随机变量。类型：离散型随机变量连续型随机变量

随机变量的概率分布二

二、随机变量的概率分布（1）随机变量可以取所有可能值中的任何一个值（2）但是取某一可能值的机会是不同的（3）有的机会大，有的机会小（4）随机变量的取值与其概率有一定的对应关系（5）一般将这种对应关系称为概率分布

它的种种可能取值用相应的小写字母x表示02通常随机变量用大写字母X表示01若取n个X＝x1X=x2……X＝xn一般将x1，x2，……，xn称为系列而可能取值出现的概率用P表示

1、离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布一般以分布列表示，如表4—3－1。Xx1x2……xi……P(X=xi)p1p2……pi……表4—3—1离散型随机变量及其概率分布

2、连续型随机变量的概率分布·或是研究事件X≥x的概率，以及事件X≤x的概率。·对于连续型随机变量，无法研究个别值的概率，只能研究某个区间的概率。·后面二者可以相互转换，水文统计中常用X≥x的概率及其分布。

2、连续型随机变量的概率分布（1）分布函数设事件X≥x的概率用P（X≥x）来表示，它是随随机变量取值x而变化的，所以p（X≥x）是x的函数，称为随机变量x的分布函数，记为F（x），即F(x)=P(X≥x)。图4—3—1随机变量的概率密度函数和概率分布函数（a）概率密度函数(b)概率分布函数它代表随机变量X大于等于某一取值x的概率。

2、连续型随机变量的概率分布（1）分布函数其几何图形如图4—3－1（b）所示，图中纵坐标表示变量x，横坐标表示概率分布函数值F（x），在数学上称此曲线为分布曲线，水文统计中称为随机变量的累积频率曲线，简称频率曲线。(b)概率分布函数说明先显示密度曲线再显示分布曲线最后对应点闪动

2、连续型随机变量的概率分布（2）分布密度分布函数导数的负值称为密度函数，记为f（x），即密度曲线：密度函数的几何曲线称密度曲线。水文中习惯以纵坐标表示变量x,横坐标表示概率密度函数值f(x)，如图4—3－1（a）所示。

2、连续型随机变量的概率分布（2）分布密度图4—3—1随机变量的概率密度函数和概率分布函数（a）概率密度函数(b)概率分布函数实际上，分布函数与密度函数是微分与积分的关系。因此，已知f(x)，则

2、连续型随机变量的概率分布（3）不及制累积概率当研究事件X≤x的概率时，数理统计学中常用分布函数G（x）表示：两者之间有如下关系：不及制累积概率形式超过制累积率形式

随机变量的统计参数三

三、随机变量的统计参数说明随机变量统计规律的数字特征，称为随机变量的统计参数。总体统计参数样本统计参数统计参数水文计算均值均方差变差系数偏态系数

1、均值均值：表示系列中变量的平均情况。设某水文变量的观测系列（样本）为x1，x2，……,xn，则其均值为令称模比系数，则

2、均方差均方差：反映系列中各变量集中或离散的程度。研究系列集中或离散程度，常采用方差Dx或均方差，计算公式为

3、变差系数变差系数：水文计算中用均方差与均值之比作为衡量系列的相对离散程度的一个参数。用Cv表示，其计算式为离差系数离势系数变差系数说明：Cv是变量换算成模比系数k以后的均方差。

4、偏态系数在数理统计中采用偏态系数CS作为衡量系列不对称程度的参数，其计算式为上式右端的分子、分母同除以，则得

4、偏态系数当系列对于对称时当系列对于不对称时，CS=0，若CS＞0若CS＜0CS＝0正偏负偏如